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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

Si $s(t)$ est la longueur de l’arc depuis ${t=a}$ jusqu’à $t$ quelconque, on peut écrire cela :

$\mathrm {V} x(\delta )\leqq \mathrm {V} s(\delta )\leqq \mathrm {V} x(\delta )+\mathrm {V} y(\delta )+\mathrm {V} z(\delta )$.

Appliquons cette double inégalité à tous les intervalles d’un ensemble $\mathrm {I}$ d’intervalles non empiétants, et ajoutons ; nous obtenons un résultat que l’on peut noter

$\mathrm {V} x(\mathrm {I} )\leqq \mathrm {V} s(\mathrm {I} )\leqq \mathrm {V} x(\mathrm {I} )+\mathrm {V} y(\mathrm {I} )+\mathrm {V} z(\mathrm {I} )$.

Faisons maintenant varier $\mathrm {I}$ de façon que ${m(\mathrm {I} )}$ tende vers zéro, nous voyons que : $s(t)$ est absolument continue si, et seulement si $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ le sont. L’ensemble des singularités de $s(t)$ est la somme des ensembles des singularités de $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$.

Nous pouvons donc prendre l’ensemble ${\mathcal {E}}_{s}$ des valeurs de $t$ où $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$, $s(t)$ n’ont pas, toutes quatre, des dérivées finies et déterminées comme un ensemble de singularités.

Ceci étant, enfermons ${\mathcal {E}}_{s}$ dans un ensemble $\mathrm {A} ^{i}$ d’intervalles non empiétants ; puis, $\varepsilon$ étant arbitrairement choisi positif, enfermons dans un ensemble $\mathrm {A} _{p}$ d’intervalles non empiétants l’ensemble $\mathrm {E} _{p}$ des points en lesquels on a

$p\varepsilon \leqq {\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}<(p+1)\varepsilon$ ;

et couvrons ${(a,b)}$, à partir de $a$, à l’aide d’une chaîne d’intervalles choisis parmi les suivants :

a. À un point $t_{0}$ de ${\mathcal {E}}_{s}$ attachons l’intervalle d’origine $t_{0}$ et dont l’extrémité coïncide avec l’extrémité de celui des intervalles constituant $\mathrm {A} ^{i}$ qui contient $t_{0}$ ;

b. À un point $t_{0}$ de $\mathrm {E} _{p}$ attachons un intervalle d’origine $t_{0}$, contenu dans celui des intervalles constituant $\mathrm {E} _{p}$ qui contient $t_{0}$, et tel que la longueur de la corde fournie par cet intervalle $\delta$ diffère de

$m(\delta ){\sqrt {x'(t_{0})^{2}+y'(t_{0})^{2}+z'(t_{0})^{2}}}$

de moins de $\varepsilon$.

Servons-nous de cette chaîne, ou plutôt du polygone inscrit correspondant, pour calculer une valeur approchée de $s(b)$. La contribution des intervalles de l’espèce a est au plus ${\mathrm {V} _{s}(\mathrm {A} ^{i})}$ ; d’ailleurs, elle sera aussi voisine qu’on le voudra de cette valeur si