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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

dans tout intervalle contenu dans $\Delta _{2}$ et contenant $x_{0}$, la densité moyenne de $\mathrm {E} _{l\left({\frac {1}{2}}\right)}$ soit supérieure à ${1-\varepsilon _{2}}$. On appellera alors

$1-\varepsilon _{2}+\eta _{2}$,

la limite inférieure de cette densité moyenne et, à partir de $\eta _{2}$ et $\varepsilon _{2}$, comme tout à l’heure à partir de $\eta _{1}$ et $\varepsilon _{1}$, on définira, par l’intermédiaire de $\mathrm {E} _{l\left({\frac {1}{3}}\right)}$ un nombre $\varepsilon _{3}$ et un intervalle $\Delta _{3}$. Et ainsi de suite.

Soit $\mathrm {E}$ l’ensemble formé par la partie de $\mathrm {E} _{l(1)}$ extérieure à $\Delta _{2}$ et contenue dans $\Delta _{1}$, de la partie de $\mathrm {E} _{l\left({\frac {1}{2}}\right)}$ extérieure à $\Delta _{3}$ et contenue dans $\Delta _{2}$, …. Il est clair que $f(x)$ est continue en $x_{0}$ sur $\mathrm {E}$ ; nous allons constater que $\mathrm {E}$ est de densité un au point $x_{0}$.

Pour cela, raisonnons sur un ensemble ${\mathcal {E}}$ qui serait constitué dans ${\Delta _{1}-\Delta _{2}}$ par $\mathrm {E} _{l(1)}$ et qui, dans $\Delta _{2}$, serait tel que, dans tout intervalle contenu dans $\Delta _{2}$ et contenant $x_{0}$, sa densité moyenne surpasse ${1-\varepsilon _{2}}$. On pourrait, par exemple, prendre ${\mathcal {E}}$ identique à $\mathrm {E} _{l\left({\frac {1}{2}}\right)}$ dans $\Delta _{2}$.

Les intervalles contenus dans $\Delta _{1}$ et contenant $x_{0}$ sont, ou bien contenus dans $\Delta _{2}$, et alors nous connaissons pour eux la limite inférieure ${1-\varepsilon _{2}}$ de leur densité moyenne, ou non contenus dans $\Delta _{2}$. Soit $\mathrm {L}$ un tel intervalle, $l$ sa partie située dans $\Delta _{2}$. Dans $\mathrm {L}$, $\mathrm {E} _{l(1)}$ avait une mesure au moins égale à ${(1-\varepsilon _{1}+\eta _{1})\,m(\mathrm {L} )}$ ; mais tout $l$ peut faire partie de $\mathrm {E} _{l(1)}$ et, dans $l$, ${\mathcal {E}}$ a une mesure supérieure à ${(1-\varepsilon _{2})\,m(l)}$ ; finalement, dans $\mathrm {L}$, ${\mathcal {E}}$ a une mesure supérieure à

$(1-\varepsilon _{1}+\eta _{1})\,m(\mathrm {L} )-m(l)+(1-\varepsilon _{2})\,m(l)$,

donc une densité moyenne supérieure à

$1-\varepsilon _{1}+\eta _{1}-\varepsilon _{2}\,{\frac {m(l)}{m(\mathrm {L} )}}>1-\varepsilon _{1}+\eta _{1}-\varepsilon _{2}>1-\varepsilon _{1}$.

Or, soit ${\mathcal {E}}_{2}$ l’ensemble ${\mathcal {E}}$ identique à $\mathrm {E} _{l\left({\frac {1}{2}}\right)}$ dans $\Delta _{2}$, soit ${\mathcal {E}}_{i}$ l’ensemble identique à ${\mathcal {E}}_{i-1}$ à l’extérieur de $\Delta _{i}$, et identique à $\mathrm {E} _{l\left({\frac {1}{i}}\right)}$ dans $\Delta _{i}$. Il est clair maintenant que les densités moyennes de ${\mathcal {E}}_{2}$, ${\mathcal {E}}_{3}$, …, sont toutes supérieures à ${1-\varepsilon _{1}}$ dans les intervalles contenant $x_{0}$, contenus dans $\Delta _{1}$ et contenant $\Delta _{2}$ ; que les densités