Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/203

187

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

discontinuité $x_{0}$, dans un intervalle ${(x_{0}-h,x_{0})}$, pour avoir une fonction ${\psi (x)}$ partout continue égale à ${|\varphi (x)|}$ en dehors de ${(x_{0}-h,x_{0})}$, et linéaire dans ${(x_{0}-h,x_{0})}$.

La fonction ${\Psi (x)=\textstyle \sum \psi (x)}$, étant définie par une série de fonctions continues, majorée par la série de constantes ${\textstyle \sum |\varphi (b)|}$ est continue ; elle est de plus non décroissante.

Soit $\mathrm {E}$ l’ensemble des points n’appartenant à aucun des intervalles ${(x_{0}-h,x_{0})}$ ; dans $\mathrm {E}$ on a

$\Psi (x)=\mathrm {VS} (x)$ ;

dans le complémentaire $\mathrm {CE}$ de $\mathrm {E}$, on a

$\Psi (x)>\mathrm {VS} (x)$,

puisque chaque fonction $\Psi$ est supérieure à la fonction ${|\varphi (x)|}$ correspondante dans l’intervalle où elles différent.

Les fonctions $\Psi$ et $\psi$ étant non décroissantes et continues ont simultanément des dérivées presque partout. En un point où toutes ces dérivées existent, on a, quel que soit l’entier positif $p$,

$\Psi =\psi _{1}+\psi _{2}+\ldots +\psi _{p}+\rho _{p}$,

$\rho _{p}$ étant une fonction non décroissante, donc

$\Psi '=\sum _{1}^{p}\psi _{i}'+\rho _{p}'=\sum _{1}^{\infty }\psi '+\theta$,

$\theta$ étant positif ou nul. D’où, d’après les théorèmes des pages 179 et 128,

${\begin{aligned}\Psi (b)\geqq \int _{a}^{b}\Psi '(x)\,\mathrm {d} x&=\sum _{1}^{\infty }\int _{a}^{b}\psi '\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}\theta \,\mathrm {d} x\\&=\sum _{1}^{\infty }\psi (b)+\int _{a}^{b}\theta \,\mathrm {d} x=\Psi (b)+\int _{a}^{b}\theta \,\mathrm {d} x{\text{,}}\end{aligned}}$

et, puisque $\theta$ n’est jamais négatif, $\theta$ est presque partout nul. Mais, aux points de $\mathrm {E}$, toutes les dérivées $\psi '$ sont nulles ; donc presque partout dans $\mathrm {E}$, on a

$\Psi '=\textstyle \sum \psi '=0$.

Or, d’après les relations signalées plus haut,

$\Psi (x)=\mathrm {VS} (x)$

aux points de $\mathrm {E}$, ${\Psi (x)>\mathrm {VS} (x)}$ aux points de $\mathrm {CE}$ ; en tout point de $\mathrm {E}$ la fonction ${\mathrm {VS} (x)}$ a des nombres dérivés à droite au plus