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CHAPITRE VIII.

Considérons une suite $\mathrm {I} _{1}$, $\mathrm {I} _{2}$, … d’ensembles d’intervalles dont les mesures tendent vers zéro et fournissant des sommes ${\textstyle \sum _{1}\Delta \mathrm {V} }$, ${\textstyle \sum _{2}\Delta \mathrm {V} }$, … tendant vers la plus grande limite possible ${v_{0}=\mathrm {V} _{s}(b)}$. Les sommes analogues relatives à $\mathrm {AC}$ tendent vers zéro, à cause de l’absolue continuité de $\mathrm {AC}$, donc les sommes ${\textstyle \sum _{1}\Delta \mathrm {V} _{s}}$, ${\textstyle \sum _{2}\Delta \mathrm {V} _{s}}$, … tendent aussi vers $v_{0}$.

En supprimant au besoin certains des $\mathrm {I}$ primitifs nous pouvons supposer que la série des mesures des $\mathrm {I} _{s}$ est convergente ; alors si nous désignons par $\mathrm {I} ^{p}$ l’ensemble d’intervalles ${\sum _{p}^{\infty }\mathrm {I} _{k}}$, les $\mathrm {I} ^{p}$ forment une suite possédant toutes les propriétés signalées de la suite des $\mathrm {I} _{p}$ et, de plus, $\mathrm {I} ^{p}$ contient $\mathrm {I} ^{p+1}$. Soit $\mathrm {E} _{s}$ l’ensemble des points communs à tous les $\mathrm {I} ^{p}$ ; il est de mesure nulle et pour tout système d’intervalles ouverts^[1] enfermant $\mathrm {E} _{s}$ la somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}=v_{0}}$.

En effet, soit $\mathrm {J}$ un tel système d’intervalles, pour $p$ assez grand $\mathrm {I} ^{p}$ est contenu dans $\mathrm {J}$ sans quoi, comme l’ensemble $\mathrm {K} ^{p}$ obtenu en retirant de $\mathrm {I} ^{p}$ les parties contenues dans $\mathrm {J}$ contient $\mathrm {K} ^{p+1}$, il existerait des points communs à tous les $\mathrm {K} ^{p}$, donc à tous les $\mathrm {I} ^{p}$, et ne faisant pas partie de $\mathrm {J}$, ce qui est impossible. Donc il fournit une somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}}$ au moins égale à celle que fournit $\mathrm {I} ^{p}$ pour $p$ très grand, donc au moins égale à $v_{0}$, donc exactement égale à $v_{0}$ puisque aucune somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}}$, ne saurait surpasser ${v_{0}=\mathrm {V} _{s}(b)}$.

Lorsqu’un ensemble est de mesure nulle et que tout système d’intervalles ouverts l’enfermant donne une somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}}$, égale à $v_{0}$, c’est-à-dire donne une somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} }$ au moins égale à $v_{0}$, cet ensemble est dit l’ensemble des singularités de $\mathrm {F}$ parce que, en un certain sens, toute la variation de $\mathrm {F} _{s}$ est concentrée aux points de cet ensemble.

L’ensemble $\mathrm {E} _{s}$ que nous venons de construire est donc l’ensemble des singularités de $\mathrm {F}$, ou si l’on veut un ensemble des singularités car il est clair que l’ensemble des singularités est très indéterminé.

celle-ci : les fonctions des singularités et des sauts d’une somme sont les sommes des fonctions des singularités et des sauts des fonctions additionnées.

1. C’est-à-dire que les points de $\mathrm {E} _{s}$ sont intérieurs, au sens strict, aux intervalles considérés ; pour la construction de $\mathrm {E} _{s}$ les intervalles formant les $\mathrm {I} ^{p}$ étaient au contraire pris fermés ; c’est-à-dire que l’on considérait comme faisant partie de $\mathrm {I} ^{p}$ les extrémités des intervalles constituant $\mathrm {I} ^{p}$.