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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

Si, réciproquement, on part d’une fonction $\mathrm {F(X)}$ à variation bornée et absolument continue, on en déduira une fonction $\Phi (\delta )$ ayant les deux propriétés indiquées. Cherchons maintenant une fonction d’ensemble $\Psi (\mathrm {E} )$ ayant aussi ces deux propriétés et se réduisant à $\Phi (\delta )$ sur les intervalles. Il est clair que s’il s’agit de calculer $\Psi (\mathrm {E} )$ pour un ensemble $\mathrm {E}$ nous pourrions procéder ainsi : on détermine un ensemble $\mathrm {A} _{i}$ d’intervalles distant de $\mathrm {E}$ de moins d’un nombre positif $\eta _{i}$ ; ce qui est facile, par exemple, en enfermant $\mathrm {E}$ dans des intervalles. Pour $\mathrm {A} _{i}$ on connaît $\Psi (\mathrm {A} _{i})$ comme égale à la somme des valeurs de $\Phi$ pour les divers intervalles constituant $\mathrm {A} _{i}$. Puis on fait tendre $\eta _{i}$ vers zéro et $\Phi (\mathrm {A} _{i})$ tend vers la valeur cherchée $\Psi (\mathrm {E} )$.

Cette valeur $\Psi (\mathrm {E} )$ existera donc si, quand on remplace $\mathrm {A} _{i}$ par un autre ensemble d’intervalles, $\mathrm {B} _{i}$, distant aussi de $\mathrm {E}$ de moins de $\eta _{i}$, ${|\Psi (\mathrm {A} _{i})-\Psi (\mathrm {B} _{i})|}$ tend vers zéro avec $\eta _{i}$. Or, il en est bien ainsi, puisque $\mathrm {A} _{i}$ et $\mathrm {B} _{i}$ sont évidemment distants de $2\eta _{i}$ au plus^[1]. Finalement $\Psi (\mathrm {E} )$ se calcule à l’aide de sommes d’accroissements ${\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )}$, pour cette raison nous dirons aussi que $\Psi (\mathrm {E} )$ est l’accroissement de $\mathrm {F(X)}$ dans l’ensemble $\mathrm {E}$.

Ainsi les trois familles de fonctions : fonction d’ensemble absolument continue et complètement additive, fonction d’intervalles ayant les deux mêmes propriétés, fonction d’une variable absolument continue et à variation bornée, se correspondent entièrement.

En particulier, nous voyons que l’intégrale indéfinie, fonction d’une variable, d’une fonction $f(x)$ détermine entièrement l’intégrale indéfinie, fonction d’ensemble de $f(x)$. Et nous avons appris à calculer $\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x$, à partir des intégrales de $f(x)$

1. Ce mode d’extension à tous les ensembles mesurables d’une fonction définie seulement dans la famille des ensembles d’intervalles est à rapprocher de la proposition que M. Baire appelle principe d’extension (voir Baire : Leçons sur les théories générales de l’Analyse), dont l’application la plus connue est la définition de l’exponentielle et qu’on peut énoncer ainsi : Si une fonction $f(x)$ est définie pour toutes les valeurs rationnelles de $x$ et si elle est uniformément continue dans l’ensemble de ces valeurs, on peut la prolonger, et d’une seule manière, à toute valeur de $x$ de façon qu’elle reste continue.

   On pourrait réunir cette propriété et celle qui vient de nous servir dans un énoncé unique ; on imiterait pour cela les considérations développées par M. M. Fréchet dans sa Thèse (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1906).