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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

sibles en groupant tous ceux qui sont positifs et tous ceux qui sont négatifs et nous aurons ainsi une définition analogue à celle du Chapitre III. Pour cela, nous supposerons résolu le problème de la mesure des ensembles formés de points dans un plan, problème que l’on pose comme pour le cas de la droite, la condition 3′ devenant : la mesure de l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient les inégalités

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est 1.

On démontrera facilement que la mesure d’un carré est son aire, au sens élémentaire du mot. De là on déduira que la mesure d’un ensemble quelconque est comprise entre sa mesure extérieure et sa mesure intérieure, mesures qu’on définira comme dans le cas de la droite, les carrés remplaçant les intervalles.

Pour démontrer que la mesure intérieure ne surpasse jamais la mesure extérieure, il faudra démontrer qu’un carré ne peut être couvert à l’aide d’un nombre fini de carrés que si la somme des aires des est au moins égale à l’aire de , ce que l’on peut faire élémentairement[1] ; puis il faudra démontrer le théorème de M. Borel lorsqu’on remplace dans son énoncé le mot intervalle par le mot carré ou le mot domaine.

La démonstration peut se faire comme pour le cas de la droite, mais je veux, à cette occasion, indiquer comment on peut employer la courbe de M. Peano et les autres courbes analogues (p. 44). Soit le domaine tel que tout point intérieur à ou frontière de soit intérieur à l’un des domaines . Nous pouvons définir, à l’aide d’un paramètre variant de 0 à 1, une courbe qui remplit le domaine et qui ne passe par aucun point extérieur[2]. Chaque

  1. Pour cette question et pour tout ce qui concerne la mesure des polygones, on consultera avec intérêt la Note D de la Géométrie élémentaire de M. Hadamard.
  2. On pourra pour cela établir une correspondance biunivoque et continue entre les points d’un carré et ceux du domaine , puis prendre pour courbe celle qui correspond à la courbe de Peano remplissant le carré. L’existence de cette correspondance est claire lorsque la courbe limitant le domaine est simple, lorsque c’est un polygone par exemple ; mais le cas général exige des raisonnements délicats. On pourra se reporter, par exemple, à la Thèse de M. Antoine (Journal de Math., 1921).

    Si l’on envisageait d’autres domaines que ceux qui sont limités par une courbe de Jordan, la correspondance pourrait ne plus exister. Pour ces domaines d’ail-