nons ordinairement pour juge du vrai, a été destiné à cette fonction par celui qui l’a créé ? (Pasc.) Sitôt que te cœur à Cessé ses fonctions, l’animal est mort. (J.-J. Rouss.) La fonction particulière que l’usage a dévolue aux métaux précieux de servir d’agent au commerce est purement conventionnelle. (Proudh.) La fonction spécifique du sexe féminin est de concevoir et d’enfanter. (Bautain.) || Exercice d’un devoir naturel ou d’une charge obligatoire ou non ; se dit particulièrement de l’exercice d’une charge publique : Les fonctions de ministre, de préfet, Entrer en fonction. Sortir de fonctions.Se démettre de ses fonctions. On ne souhaite les fonctions que pour les rétributions qui y sont attachées ; les mieux payées sont les plus courues. (Mass.)
— Faire fonction de, Remplacer une autre personne, faire à sa place ce qu’elle était appelée à faire : Le premier secrétaire d’ambassade fait en ce moment fonction d’ambassadeur,|| Tenir lieu d’un autre objet, servir à sa place au même usage ; Nos doigts feront fonction de fourchette. Il s’était coiffé d’un mouchoir qui faisait fonction de chapeau.
— Physiol. Action des organes agissant en vue de leur destination naturelle : Les fonc- tions digestives. Les fonctions de reproduc-. tion. Les femelles d’araignées dévorent les mâles, après l’accomplissement de leur fonction. (Maquel.) || Fonctions animales, Celles ; qui sont propres aux animaux, comme toutes celles qui dépendent de la volonté. || Fonctions végétatives. Celles qui sont communes aux animaux et aux végétaux, comme la nutrition et la reproduction.
— Mathém. Dépendance dans laquelle se trouve une quantité dont la valeur est déterminée par celle que l’on peut donner à une autre. || Méthode des fonctions, Méthode proposée par Lagrange, pour être substituée à la méthode des infiniment petits, dans le calcul différentiel.
— Typogr. Pour les compositeurs, Ensemble des opérations autres que la composition et l’impression, comme imposition, correction, mise en pages, || Pour les imprimeurs, Diverses opérations, comme lavage des formes, nettoyage du papier, etc.
— Syn. Fonction, charge, emploi, etc. V. charge.
— Encycl. Mathém. Le mot fonction s’emploie ordinairement pour désigner une série d’opérations arithmétiques à effectuer sur les mesures de certaines grandeurs pour en déduire la mesure d’une autre grandeur dépendant des premières. Il convient de donner à ce mot un sens plus étendu.
En effet, d’abord, il n’est jamais nécessaire que les données d’une question soient fournies en nombres pour qu’on puisse en obtenir la solution : elles peuvent tout aussi bien l’être en nature.
En second lieu, des opérations physiques à effectuer sur certaines grandeurs peuvent être aussi bien définies en elles-mêmes que par les opérations arithmétiques qui y correspondraient.
Enfin, on ne saurait maintenant et on ne saura jamais, à quelque degré de perfectionnement que la science parvienne, remplacer par des opérations arithmétiques bien définies la plupart des opérations physiques qu’on peut concevoir, et en raison desquelles, cependant, la chose produite a une relation parfaitement nette avec celles dont elle est provenue. Il convient donc d’admettre pour les grandeurs ainsi définies physiquement le nom de fonctions concrètes.
Une fonction est implicite quand la définition indirecte qu’on en a ne fournit pas immédiatement l’indication des opérations qu’il faudrait effectuer sur les grandeurs dont elle dépend pour en trouver la valeur correspondante.
Une fonction explicite contient l’expression nette des opérations qui permettraient de former la grandeur qu’elle représente, au moyen des grandeurs dont elle dépend. Ces opérations pourront souvent être notées à l’aide des signes algébriques ; mais, comme le langage ordinaire pourrait toujours suffire, et fournira dans la plupart des cas le seul mode d’exposition qui puisse être employé, ce ne sera pas la notation algébrique qui fera la fonction. Lorsque la question comporte des données fixes et des données variables, on ne caractérise ordinairement la fonction que par rapport aux variables dont elle dépend ; ainsi, on dira que l’espace parcouru par un corps tombant dans le vide sous l’influence isolée de la pesanteur est une fonction du temps employé à le parcourir, parce qu’en un même lieu, il en dépend, en effet. Mais cela ne signifiera évidemment pas que d’un laps de temps, modifié d’une certaine façon, on puisse faire un espace : si le lieu changeait, la pesanteur serait différente, et, par suite, la fonction qui donne l’espace parcouru par un mobile sous l’influence de la pesanteur, ne peut pas dépendre du temps seulement ; elle contiendra aussi certaines grandeurs fixes propres à caractériser la pesanteur dont il est question.
— Fonctions composées. Dès qu’on a conçu nettement quelques opérations, on peut soumettre le résultat d’une première d’entre elles à une nouvelle analogue ou différente, puis le nouveau résultat à une troisième, et ainsi de suite. On forme ainsi des fonctions composées.
On conçoit qu’un très-petit nombre de fonctions primordiales puisse suffire à en composer des infinités.
Il pourrait donc sembler que quelques fonctions simples peuvent suffire à la formulation de toutes les lois imaginables.
Les nouvelles formes simples successivement introduites dans la science ne l’auraient donc été que pour la commodité et par le caprice des géomètres, nullement par nécessité.
Bien au contraire, l’invention de chaque nouvelle fonction simple a été amenée par de nouveaux et impérieux besoins, et a permis de faire faire aux sciences de nouveaux et immenses progrès. Les lois suivant lesquelles les formes primitives s’enchaînent et dérivent les unes des autres fournissent l’un des types les plus parfaits d’une bonne classification, en ce que l’ordre des difficultés propres à chaque théorie correspond toujours au rang de la dernière fonction simple employée à caractériser les lois des phénomènes qui dépendent de cette théorie.
Pour rendre claire l’impossibilité d’exprimer toutes les fonctions imaginables au moyen d’un nombre limité de fonctions simples, supposons, par exemple, qu’on voulût exprimer une grandeur dépendant de plusieurs autres, au moyen seulement des opérations d’addition et de soustraction.
La grandeur inconnue ne dépendant que des données, il ne pourra y avoir qu’elles qui entrent dans la fonction cherchée.
Si l’inconnue est plus grande que l’une des données, elle sera bien égale à cette donnée, plus quelque chose, un certain reste ; mais ce reste, il faudra l’exprimer au moyen des autres données. S’il se trouve égal à l’une d’elles, l’inconnue alors sera bien représentée par une somme ; dans le cas contraire, il sera, par exemple, égal à cette seconde donnée, moins quelque chose ; mais ce nouveau reste, il faudra encore le représenter au moyen des données, et ainsi de suite, car on ne pourra jamais rien introduire, dans la fonction, qui, finalement, ne se ramène aux seules grandeurs données.
Or, quelque judicieusement que l’on se détermine dans chaque choix successif, il pourra arriver que jamais l’opération ne se termine, et dès lors, évidemment, il faudra recourir à de nouvelles formes élémentaires pour représenter la grandeur inconnue.
Il est évident que ce que nous venons de dire pour la somme et la différence pourrait se répéter d’un nombre quelconque de fonctions choisies comme éléments analytiques et destinées à en former d’autres. Nécessairement, dans le nombre infini de toutes les fonctions possibles, il en restera toujours beaucoup plus de non exprimables qu’il n’y en aura d’exprimables.
Si, dans une opération analogue à celle que nous venons de supposer, on parvenait enfin à représenter le dernier reste (ce mot doit ici s’entendre dans le sens général), quelles que fussent d’ailleurs les fonctions simples introduites, la fonction cherchée serait représentée : ce serait une fonction complexe par rapport aux fonctions simples qui auraient servi à la former. Dans le cas contraire, où la représentation aurait été trouvée impossible, de quelque manière qu’on la tentât, la fonction cherchée serait, par rapport aux fonctions simples essayées, dans un état d’incommensurabilité quant à leurs formes.
On voit donc que le nombre des fonctions simples devrait être infini s’il fallait qu’elles dussent suffire à la représentation de toutes les fonctions possibles. Mais il suffira qu’elles puissent servir à représenter les lois de tous les phénomènes accessibles à une étude rigoureuse. Avec ses huit fonctions simples, l’algèbre, sous ce rapport, satisfait à peu près à tous les besoins réels.
— Fonctions simples. La première fonction venue, bien définie, pourrait être regardée comme simple ; d’autres, complexes par rapport à elle, en dériveraient en nombre infini.
Mais deux ou plusieurs fonctions prises au hasard ne pourraient pas être en même temps regardées comme simples si elles ne satisfaisaient pas à cette condition que chacune d’elles ne pût, d’aucune façon, être exprimée au moyen des autres.
D’ailleurs, bien que l’inconnue d’une question prise au hasard ne pût être représentée par aucune fonction composée des fonctions jusque-là regardées comme simples, et ne fût capable de l’être que par l’accumulation indéfiniment prolongée de ces fonctions simples les unes sur les autres, chacune gouvernant un résultat non encore exprimé et qui na pourrait jamais l’être complètement, cette impossibilité ne constituerait pas, pour la nouvelle fonction non représentable, une qualité suffisante pour la faire ranger au nombre des fonctions simples.
Chaque nouvelle fonction simple doit dériver immédiatement de la précédente, et de celle-là seulement, c’est-à-dire résumer une série régulière indéfinie et unique d’opérations de l’ordre de cette précédente.
En d’autres termes, toutes les fonctions simples doivent être formées les unes des autres de telle sorte que, chacune résumant la série régulière, indéfinie, la plus simple possible des opérations de l’ordre de la fonction simple immédiatement précédente, elles ne s’introduisent dans le calcul qu’à mesure que l’usage en devient absolument indispensable.
En effet, il est évident, en premier lieu, qu’on ne devra laisser subsister aucune lacune entre les divers ordres de questions rendues accessibles au calcul algébrique, ce qui arriverait infailliblement si l’on introduisait au hasard de nouvelles fonctions simples, définies seulement par les conditions des questions concrètes dont elles seraient employées à formuler les lois, et qui n’eussent aucune relation connue avec les fonctions simples précédentes. Mais, d’ailleurs, les propriétés analytiques de chaque nouvelle fonction simple ne sauraient découler que de ses relations avec les précédentes, et s’il n’en avait pas été établi entre elles, comment pourraient-elles être mêlées dans un même calcul ?
Avant qu’un nouvel élément analytique soit reçu dans la science, il faut quelquefois qu’il soit éprouvé pendant longtemps, et l’exemple des fonctions circulaires, qui aujourd’hui pourraient en être rayées, en fournit une preuve assez frappante.
Ces fonctions avaient été imaginées par les Grecs dans le but particulier de relier les angles d’un triangle à ses côtés, et elles servent aujourd’hui généralement à relier les grandeurs linéaires et angulaires d’une même figure. Or, imaginées en dehors du point de vue algébrique, elles ne faisaient pas suite aux fonctions simples précédemment créées ; elles rompaient l’unité, et elles sont aujourd’hui beaucoup plus embarrassantes qu’elles ne sont utiles, depuis qu’Euler les a reconnues complexes par rapport à une fonction qui, bien mieux qu’elles, jouit de toutes les qualités requises dans un élément algébrique.
Les fonctions simples marchent toujours deux à deux par couples ; la notion de l’une entraîne celle de son inverse : il faut, en effet, qu’après avoir modifié une grandeur d’une certaine manière, on puisse lui faire subir une modification précisément contraire, destinée à défaire ce qui avait été fait, et à rendre, quand on le voudra, son état primitif à la grandeur considérée. Plus généralement, il faut que de la grandeur modifiée à la grandeur proposée, ou réciproquement, on puisse toujours conclure aussi facilement dans un sens que dans l’autre, quand on connaîtra les grandeurs auxiliaires employées pour indiquer de quelle manière la première modification a été effectuée.
Deux fonctions composées d’opérations en nombre quelconque sont dites inverses l’une de l’autre, lorsque le dernier résultat des opérations successives qui constituent la première de ces fonctions, étant successivement soumis aux opérations qui entrent dans la seconde, la grandeur, quelle qu’elle soit, qui a éprouvé tous ces changements, revient à son état primitif.
Il est remarquable que dans les trois premiers couples usités jusqu’ici de fonctions simples, on ait pu ramener, à l’aide de certains artifices très-simples, la forme inverse à la forme directe, de manière à simplifier d’autant le bagage analytique. Pour le dernier couple, rien d’analogue n’existe encore, et rien ne permet de prévoir qu’une pareille simplification soit possible.
L’algèbre ne compte, jusqu’ici, (que les huit fonctions simples : somme et différence, produit et quotient ; puissances et racines, exponentielles et logarithmes.
Les nouvelles fonctions simples, non encore usitées, qui pourraient permettre de traduire exactement les lois de dépendance complexes par rapport à elles et inexprimables jusqu’ici, ces nouvelles fonctions simples résumeraient une série indéfinie d’opérations de l’ordre précédent.
Incontestablement, lorsque l’opportunité s’en fera sentir, il y aura lieu d’introduire dans le calcul ces nouvelles fonctions simples ; mais, avant qu’on ait pu se décider, en connaissance de cause, à faire choix de telle ou telle pour faire suite à celles qui sont déjà connues, on pourra toujours introduire aux lieu et place de ces nouvelles fonctions simples les séries régulières indéfinies des opérations qu’elles serviront plus tard a résumer sous une notation plus brève. On conçoit par là que toutes les questions imaginables restent abordables d’une certaine manière. On peut sans doute prévoir à combien de difficultés peut aboutir une pareille substitution, mais il est clair aussi que multiplier sans précaution le nombre des fonctions simples serait en rendre l’étude impossible.
En fait, si les géomètres n’emploient encore que huit fonctions simples, cela tient certainement d’abord à ce que leur emploi a pu suffire à des recherches déjà très-nombreuses et très-variées ; mais aussi, sans doute, à ce qu’ils ont reconnu de bonne heure le danger qu’il y aurait à introduire, sans de graves motifs et en vue d’applications trop restreintes, de nouvelles complications dans la partie purement analytique de leurs recherches.
Sans contredit, il y a encore de la place pour quelques fonctions simples ; il suffira toujours, pour les admettre, que l’introduction en devienne opportune et que le choix en soit convenable ; mais le nombre ne pourra plus s’en augmenter beaucoup.
Les fonctions elliptiques, qui peuvent déjà être considérées comme appelées à fournir un nouveau couple de fonctions simples, n’ont pas encore terminé leur stage. Elles n’ont pu encore être rattachées aux fonctions transcendantes de l’ordre précédent. L’origine n’en est encore que purement concrète.
En résumé, on doit concevoir la création de tout nouveau couple de fonctions simples, inverses l’une de l’autre, comme se réduisant à l’invention d’une notation propre à résumer une suite régulière indéfinie, déjà nécessairement connue et étudiée antérieurement, d’opérations de l’ordre précédent. Cette suite devant se représenter souvent sous sa forme gênante, on est naturellement amené à lui donner un nom ; mais une pareille invention, tout en simplifiant les procédés, ne crée pas un domaine nouveau. Il ne nous reste que quelques mots à dire de chacun des couples des fonctions simples adoptées jusqu’ici.
Les premières fonctions simples connues furent naturellement celles qu’on désigne sous les noms de somme et différence ; elles se rapportent aux combinaisons les plus simples qu’on puisse imaginer entre des grandeurs.
Les fonctions du second couple servent à traduire les relations de similitude. Les équations
et
(y égale x multiplié par le rapport de m à n, et x égale y multiplié par le rapport de n à m), signifient que le rapport de y à x est le même que celui de m à n, et que, par suite, celui de x à y est le même que celui de n à m. Si le rapport était commensurable, la relation de y à x pourrait être traduite au moyen d’un nombre fini d’équations où n’entreraient que les signes de l’addition et de la soustraction ; dans le cas contraire, il faudrait un nombre infini d’équations de ce genre.
Les fonctions simples du troisième couple sont
,
![{\displaystyle x={\sqrt[{m}]{y.u^{m-1}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d1da2853185ee33aaefb37c721fc3483b23f5b)
La première, qui n’est que la notation abrégea de
est bien une fonction composée des précédentes, en nombre infini, mais son inverse
ne pourrait généralement être obtenue que par l’accumulation d’une infinité d’opérations de l’ordre de ces précédentes. Enfin, les fonctions du quatrième couple
et
ne peuvent généralement s’obtenir que par l’accumulation d’une infinité d’opérations simples du troisième couple.
FONCTIONNAIRE s. m. (fon-ksi-o-nè-rerad. fonction). Personne qui remplit une charge, qui exerce des fonctions : Un fonctionnaire public. Un fonctionnaire salarié. Tout fonctionnaire doit être responsable. (M{e|me} de Staël.) On évaluait en France, vers 1840, le nombre des fonctionnaires à six cent mille. (Proudh.)
— Encycl. On appelle, en général, fonctionnaire public celui qui exerce une fonction publique, c’est-à-dire qui concourt d’une manière quelconque et dans une sphère plus ou moins élevée, à la gestion de la chose publique. Mais toutes les personnes que leurs fonctions rattachent d’une manière plus ou moins directe au gouvernement n’ont pas droit à cette qualification, en tant qu’elle constitue une qualification légale. Donner ici une énumération complète des fonctionnaires publics n’aurait aucune espèce d’intérêt ; contentons-nous d’indiquer les principaux. Sont fonctionnaires publics : les agents directs du pouvoir exécutif, c’est-à-dire les ministres, les préfets, les secrétaires généraux de préfecture, les sous-préfets, les maires et adjoints et les commissaires de police, puis les dépositaires du pouvoir judiciaire, les membres de la cour de cassation, des cours d’appel, des tribunaux de tous les degrés, les officiers de police judiciaire, les membres de la cour des comptes, du conseil d’État et des conseils de préfecture, les membres du corps diplomatique, ceux du corps enseignant, les officiers de terre et de mer, les agents de l’administration revêtus d’un titre officiel et qui ont titre et qualité, dans certains cas et vis-à-vis de certaines personnes, ce qui exclut les simples employés de bureau appartenant aux diverses administrations publiques. On s’est demandé si les ministres des différents cultes reconnus devaient être considérés comme fonctionnaires publics. Plusieurs auteurs se prononcent pour l’affirmative. Nous ne croyons pas, cependant, que cette opinion doive être suivie. Elle contient la négation implicite du principe de la séparation des pouvoirs spirituel et temporel qui, depuis 1789; est un des fondements de notre droit public. Le prêtre est fonctionnaire dans l’ordre spirituel ; dans l’ordre temporel, il ne l’est pas. L’État n’est ni juif, ni chrétien, ni catholique, ni protestant : il ne peut faire profession d’aucune doctrine religieuse, et, par conséquent, on ne peut considérer comme ses agents ceux qui exercent le ministère sa-
