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CHUT

fait dans ce qui précède, qu’autant que la force d’inertie d’entraînement et la force centrifuge composée n’obtiennent que des effets insensibles.

Le mouvement d’entraînement d’un point considéré comme lié à notre planète se compose du mouvement de rotation uniforme de ce point autour de la ligne des pôles et du mouvement autour du soleil d’un point de cette ligne des pôles dont^la direction peut être regardée comméfixe durant un temps même très-considérable. La force d’inertie d’entraînement d’un mobile, à la surface de la terre, est donc la résultante des forces centrifuges correspondantes à ces deux mouvements.

L’accélération centrifuge dans le mouvement circulaire estu’r, « désignant la vitesse angulaire et r le rayon du cercle ; or la vitesse angulaire, dans le mouvement diurne de la terre, est

86 104

(86 184 est la valeur en secondes du jour sidéral) ; dans le mouvement annuel, la vitesse angulaire est

2s I

86164 365’

d’autre part, r désignant le rayon de la terre, et X la latitude du lieu, r cosX est le rayon du cercle décrit par le mobile autour de la ligne des pôles ; le rayon de 1 ecliptique est d’ailleurs à peu près 24,000 rayons terrestres. Les deux accélérations centrifuges sont donc

I -■■■-, -, -) rcosX et | —) j—) 240Qor,

S6164 / 86164/ / ’

le rapport de la seconde à la première est

24 000 1 24 000 1

(365)" cosX ~ 133 225 cosî’

cette seconde accélération serait donc négligeable devant la première, au moins de l’équateur aux cercles polaires.

Mais il faut bien remarquer que ce que nous appelons vulgairement pesanteur n’est autre que la force dont nous sentons les effets, c’est-à-dire la résultante de l’attraction que nous éprouvons de la part de la terre et de la force centrifuge due au mouvement de notre corps entraîné avec notre planète ; en sorte que, en prenant pour intensité de la pesanteur, à Paris par exemple, le nombre g = 9 m. 8088, que fournit l’expérience, nous tenons déjà compte de la force d’inartie d’entraînement.

Nous n’aurons donc effectivement ici à nous préoccuper que de la force centrifuge composée qui naît du mouvement d’un mobile à la surface de la terre.

On sait (v. centrifuge composée) que l’accélération centrifuge composée est le double du produit de la vitesse relative par la vitesse angulaire du système des repères, autour de l’axe instantané de rotation de ce système et par le sinus de l’angle de cet axe et de la vitesse relative. Elle est d’ailleurs dirigée perfiendiculairement au plan de la vitesse reative et de l’axe, dans le sens contraire de celui où serait entraînée, dans le mouvement de rotation autour d’une parallèle k l’axe menée par ie point mobile, la pointe de la flèche qui indiquerait la direction de la vitesse relative.

Soit donc M un mobile abandonné à lui-même sans vitesse initiale, l’action de la force

Fig. 3

centrifuge étant toujours très-petite, on pourra considérer la vitesse relative de ce mobile, pendant la chute, comme dirigée sensiblement vers le centre de la terre-, le plan de la vitesse relative et de l’axe sera celui du plan méridien MOP, la force centrifuge composée sera donc normale à ce méridien ; d’ailleurs, la rotation de la flèche autour de l’axe pp’, parallèle à la ligne des pôles, entraînerait son extrémité vers l’ouest, l’accélération centrifuge comp.osèe sera donc dirigée vers Test. L’angle de la vitesse relative et de l’axe pp' étant le complément de la latitude X de la verticale que décrit a peu près le mobile, l’expression de la force centrifuge composée sera, en représentant par t> la vitesse acquise par le mobile,

2u v cosX ou 2

IV.

80 164

cos X. I).

CHUT

Cela posé, la vitesse v sera sensiblement représentée par gt, t désignant le temps compté à partir du commencement de la chute ; l’accélération dans le mouvement de déviation vers l’est sera donc à peu près d*s 2ff

„ 2 C£, S A gt.

df 86 164 "

l’espace « parcouru vers l’est sera, en conséquence,

2*, T«

S = 2 COsX 9^8088 —,

86 164 ’ 2.3

T désignant le temps total que durera le mouvement.

Soit h. la hauteur de chute, on aura à peu près

— = — et T 2 g par conséquent, la déviation vers l’est.sera

v7 !—

2 2t.

cosX A

ih

Vi

3 861 64

Cette formule a été vérifiée par des expériences directes entreprises par M. Reieh dans un puits de mine à Freyberg. La hauteur de chute était de 15SU1,5, la latitude de 51» ; la formule aurait donné om,0276 ; l’expérience, répétée un grand nombre de fois, a fourni en moyenne û’",02S3.

Nous venons d’étudier les effets de la force centrifuge dans le mouvement vertical d’un corps ; on tiendrait compte de cette force d’une manière analogue dans le mouvement parabolique ; mais on voit par ce qui précède qu’elle pourra généralement être négligée comme ne produisant que des effets presque insensibles.

Les deux questions de la chute d’un corps le long d’une courbe ou d’une surface fixe offrent des difficultés beaucoup plus considérables, même en ne tenast pas compte du frottement.

Supposons d’abord qu’un mobile soit assujetti à parcourir une courbe donnée

= /"(-)» y = A(*),

sans frottement : le travail élémentaire de la pesanteur étant mdz, et celui de la réaction normale de la courbe étant nul, le théorème des forces vives donnera bien

mu’ — mu0’ = im(s — z0),

et le système de cette équation jointe aux deux équations do la courbe posera, il est vrai, la question analytique ; mais il restera dans chaque cas à effectuer l’intégration. Nous renvoyons à l’article pendule pour les applications relatives aux cas où la courbe donnée est un cercle vertical ou une cycloïde contenue dans un plan vertical et ayant sa base une horizontale.

Supposons en second lieu que le mobile doive rester sur une surface / (x, y, z) = o, le théorème des forces vives fournira d’abord" seconde équation du mouvement

mv1 — mvg’ = 2î» (z — z0).

D’un autre côté, en désignant par R la réaction normale de la surface et par U la quantité

U = ± !

v/Œ>’+(SP’+S9

on devra avoir

et

d’où

— H1I df df~''RV'dx

U-+™&

d’y df

= o.

df dy df dx On aura donc bien les trois équations du mouvement, mais il restera à effectuer des intégrations généralement difficiles.

M. Catalan a traité (Journal de Liouville, t. XI, p. 212, 1846) une question intéressante, qui est en-quelque sorte l’inverse de celle qui nous occupe. Il s’est proposé de trouver une surface passant par une courbe donnée et telle qu’un point pesant parcoure cette courbe, lorsqu’on lépose sur la surface, en un point de la courbe, avec une vitesse de grandeur et de direction convenables.

La solution qu’a donnée M. Catalan de cette belle question est extrêmement simple et nous ne croyons pas devoir la passer sous silence.

Soient

«-«*), î/ = A(=)

les équations de la courbe donnée : l’équation de la surface cherchée pourra recevoir la forme

F = x-f{s) - (y-faï) ï(y.î) = o, et la question sera de déterminer la fonction o. Or la condition

lydf" dx ’df °U dy Y ds)~ dx V ds)

trouvée plus haut derra être remplie en chacun des points de la courbe donnée ; l’équation qui l’exprime devra donc être rendue identique quand on y fera x = f(z), y = /i(~),

, ., , dx, dy, après avoir substitue a u -r et v -y- les valeurs qu’auraient ces quantités, en fonction

CHUT

de z, dans le mouvement d’un point assujetti à parcourir la courbe donnée.

^ dF x, , * dF

dx**1'P°Ur V = ^’Thj Se re" duit à — ç(/i(^), -], en sorte que la substitution donnera pour déterminer ? une équation très-simple

?IA(s)j~] = une fonction connue de 3, %{z) ; la fonction cherchée o{y, z) sera donc

?fe>~) = 7» + (y - M ■Hif, ~),

i(z) désignant une fonction complètement arbitraire.

En prenant pour exemple le cas où la courbe donnée serait une hélice tracée sur un cylindre vertical, M. Catalan trouve, pour la surface cherchée, l’équation

r, arc tang- + ff, r, }.

r désignant le rayon de base du cylindre et

— la tangente de l’inclinaison de la tangente

à l’hélice sur le plan de base. Ha supposant ■ !/ = 0, l’équation se réduit à

, arc tang CHUT

265

h x1 + jf

r’u

si l’on fait x — p cos v>, et y = ç sin w. ■ La surface représentée par cette équation est remarquable : les sections horizontales sont des spirales analogues à celle d’Archimède ; les sections faites par des cylindres concentriques à celui sur lequel est tracée l’hélice proposée sont d’autres hélices ; enfin les sections par des plans menés suivant l’axe sont des courbes hyperboliques ayant pour asymptotes l’axe des z, et la trace du plan sécant sur le plan perpendiculaire à l’axe mené par le point où l’on suppose que le mobile ait été placé sans vitesse initiale, c’est le plan qui a été pris pour plan "des xy.

La courbe de plus grande pente de la surface a pour seconde équation — u’ ç =Ce

Enfin l’axe des x appartient à la surface, et il est facile de voir qu’en quelque point de cet axe qu’on plaçât un mobile, sans vitesse initiale, il décrirait l’une des hélices tracées sur la surface.

Ajoutons en terminant qu’il ne suffirait pas qu’on eût placé- un point matériel sur une surface pour qu’on fût assuré qu’il la parcourra jusqu’à sa limite. Si la convexité de la surface était partout dirigée vers le zénith, il est bien clair que le mobile ne pourrait pas la quitter ; mais, dans le cas contraire, pour qu’il restât sur la surface, il faudrait que sa vitesse restât toujours inférieure à une limite variable déterminée en chaque point : il faudrait que la parabole que le mobile tendrait à chaque instant à décrire, si la surface ne se trouvait pas interposée, eût une courbure plus grande que celle de la section de la surface par le plan de cette parabole.

— II. Chute d’en corps pissant en tenant compte de la résistance de l’air. Soient O le point de départ du mobile auquel nous don —■3t

O

Fig. 3.

nerons l’unité de masse, C le centre de la terre ; supposons que le mobile ait en O une vitesse «0 dirigée de O vers C. L’action de l’air produisant une résistance proportionnelle au carré de la vitesse du mobile, l’équation du mouvement sera d’x

T ? = 9-av> en comptant les x positifs de O vers C. Posons „ 9

/c"

il vient

(Px

, d0

c / v’ dv

so pour laquelle L’équation / « ! dv

nl-¥)=Tt

k est la vitesse pour laquelle la résistance est égale à g. L’équation

donne successivement

k’dv, J A, B 9dt = »=ï = *’ TT^ *k=rv) dn'

~ K k + v ^ k-v/2k

oe l t k + v If

^ On déterminera c en faisant dans cette équation t = o et v = v0. Supposons v0 = o, il vient c = 0 ; l’équation du mouvement est donc.

ou

ou v = k-

k

Jjr + p A —u

•m,

L

k + v k-v ’. s.o t

= «*

= k

e — e

. Il..'

ot

"k ï

(jt k

gt

' k

dx — k ■

d’où

k’ T x = — L

a

Ri

e k + e

+ e

roi

k

SI

' k

dt ;

pour t = o, x - 0 ; donc c = 2, et l’équation définitive du mouvement est

+ e

k’ x— — l

a

Cette expression de x montre que cette coordonnée augmente indéfiniment avec t ; quant h. la vitesse, elle tend vers la limite A-, et le mouvement tend par suite de plus en plus à devenir uniforme ; ce résultat n’a rien d’étonnant, si l’on se rappelle que k est précisément la vitesse pour laquelle la résistance est égale à g. s

Nous avons supposé que la vitesse initiale du mobile était dirigée de O vers C ; supposons maintenant que cette vitesse initiale soit dirigée en sens contraire, de telle sorte que la mouvement commence par être scendant. L’équation de ce mouvement est

do (, v-

d’où

-gt

k arc tang — + e :

■ A : arc tans ;k

— «arc tang—»

gt k k ■ k{v0 — v)

ou tang ~r= = 7- ;

A" v0t> k- 4- vQv

1 +

k"

d’où

  • (D0-*tsf) fc^ocosg-*sinÇ)

«0*0^ + ^ % sin^—i- Acost-

A’ « : A*

de cette équation on déduit

„ («f+Acosf)

x = — L-

J^

v0 siti-Z-’ + fccos °l

).

g ^ k

Le mobile, étant soumis à des forces opposées à son mouvement ascendant, ne montera pas indéfiniment ; cherchons le point où il arrivera, c’est-a-dire le point où la vitesse devient nulle. On pourrait se servir des équations que nous venons de trouver, mais il est plus simple de chercher la relation qui lie a ; à « ea partant de l’équation :

vdo f, J V

vdo

k’

~-4*d*.

k-

Cette équation donne :

îgx

k1 + u’

3 = L.

k’+v*

l’abscisse du point le plus haut est donc

X~ — L ; •

g k

Le mobile arrivé en ce point redescend, et l’équation de son mouvement est celle qui a été donnée dans le cas précédent. On peut aisément trouver la vitesse du point matériel lorsqu’il repasse à son point de départ ; en

remplaçant x par

£* ]k> + v0* S k

dans la relation qui lie a : à y dans ce mouvement descendant, relation qu’il est bien facile de trouver, on obtient

"’o' k’ + V ’

L’étude des modifications que la résistance de l’air apporte au mouvement parabolique d’un corps lancé obliquement est plus com»

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