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par une autre fonction du second degré fi{x, y) et, en changeant la direction des axes de manière à les rendre parallèles aux axes de !a conique f, [x, y) = a, l’équation des anallagmar tiques prend la forme
(x* + y’)'+4(Ax> + A.’y' + iCx+ 2C’îr+D) » o.
On démontre, en s’appuyant sur cette équation, que les anallagmatiques du quatrième degré admettent une infinité de cercles bitangenls formant trois séries ; dans chaque série le lieu des centres est une conique et les cercles coupent orthogjonàlement un cercle fixe. La démonstration de ce théorème sera un bon exercice pour les élèves de mathématiques spéciales. Les plus remarquables des anallagmatiques du 4e degré sont le limaçon de Pascal, les lemniscates ou ovales de Cassini et les cartésiennes.
Surfaces anallagmatiques. Une surface anallagmatigue est toujours l’enveloppe d’un système desphèresorthogonalesàune sphère ayant pour centre le centre d’inversion et
Ïiour rayon le module de l’inversion. Entre e degré n de la surface, le degré de multiplicité p du point de la surface qui coïncide avec le centre d’inversion et le nombre de fois g que la surface passe par le cercle ombilical, on a la relation
n = p + 2q.
Les surfaces anallagmatiques les plus remarquables sont la sphère et la cyclide de Dupin. Les surfaces anallagmatiques ont été étudiées par M. Moutard qui a découvert un système de trois familles da surfaces anallagmatiques homofocales se coupant orthogonalement.
ANALLANTOÏPIEN adj. (a-nal-lan-to-i-diin — rad. an priv., et allantoîde). Zool. Se dit des mammifères dont Je fœtus est dépourvu de vésicule allantoîde. Les vertébrés anallantoïdiens constituent le second groupe des Vertébrés, qui comprend les batraciens et les poissons.
Analogie de 1» religion, naturelle et révélée, avec la constitution et le cours de la nature (TB.MTÉ DE L’), par Butler (1739),
trad. en français (Paris, 1821, in-8o). Cet important ouvrage de philosophie religieuse, qui est classique en Angleterre, se divise en deux, parties. Dans la première partie l’analogie est établie par rapport à la religion naturelle ; dans la seconde, par rapport à la religion révélée. La première partie est la plus intéressante et la plus originale.
L’auteur commence, dans une introduction, par établir la valeur du mode de raisonnement qu’il va employer. Ce mode de raisonnement est l’analogie. L’analogie ne donne qu’une probabilité, mais, observe Butler, la probabilité est a peu près notre seule règle dans l’ordre de la pratique ; nos déterminations volontaires n’ont en vue qu’un résultat probable, et pourtant nous n’hésitons pas à agirquund les chances favorables nous semblent plus nombreuses. Puisqu’il s’agit ici de bonheur ou de malheur éternels, nous serions insensés de mépriser un guide auquel nous accordons, ajuste titre, toute confiance ici-bas.
Ceci posé, Butler examine quelles raisons nous avons de croire à une vie future. Ces raisons sont tirées de l’analogie. Les changements que subit l’homme depuis la naissance jusqu’à la mort sont tellement considérables que la mort elle-même pourrait bien n’être qu’une métamorphose comme les autres. Certains animaux passent par des transformationsencore plus radicales et plus soudaines, sans que leur individualité soit détruite. Nous sommes des êtres vivants, capables d’agir, susceptibles d’être heureux ou malheureux. Ces pouooirs de vie doivent persister après la mort, à moins que la preuve du contraire ne résulte soit de l’essence même de la mort, soit de l’expérience de la nature. Mais ce qu’est la mort en soi, nous n’en savons rien ; nous n’en voyons que quelques effets, comme la dissolution des organes, laquelle n’implique nullement la destruction d’un agent vivant. Quant à l’expérience de la nature, elle ne nous autorise pas à croire que les animaux perdent par la mort leurs facultés actives ; ce que ces facultés deviennent nous échappe complètement ; nous avions pendant la vie la preuve sensible de leur existence ; mais rien ne nous prouve que la mort les ait fait disparaître. Un et indivisible, le principe vivant que nous sommes ne saurait être lié à un système d’organes qui se dissolvent et se renouvellent incessamment. L’analogie porte à croire que si le mot résiste à l’écoulement graduel des parties qui constituent le corps, il doit survivre à la séparation plus rapide qui suit la mort. Par analogie encore, nous sommes conduits à penser que 1» perte de l’organisme entier n’est pas plus fatale que celle d’une jambe ou d’un bras, à l’existence du principe actif et vivant. Mais si le principe survit, en peuton dire autant de sa faculté de réllexion ? Oui, car la réflexion est de soi distincte et indépendante des organes et de la sensibilité ; nous en avons la preuve analogique dans ce fait que certaines maladies, ’ même arrivées a. leur dernière période, laissent tout entière, parfois en l’exaltant la puissance de la pensée. Rien enfin dans l’idée de la mort n’implique.la suppression, fût-elle momentanée, de ce pouvoir de réflexion. Il y a plus : c Selon ce que nous connaissons de nous-mêmes, de
notre vie présente et de la mort, celle-ci peut immédiatement, dans le cours naturel des choses, nous placer dans un état d’existence plus élevé et plus complet que ne fait la naissance ; — état où nos capacités, notre sphère de perception et d’action peuvent être beaucoup plus grandes qu’à présent. Car de même que le rapport qui existe entre nous et nos organes extérieurs des sens nous rend capables d’exister dans cette condition d’êtres sensitifs qui est la nâtre ici-bas, de même, il peut être le seul obstacle naturel qui nous empêche d’exister immédiatement et spontanément dans un état supérieur de réflexion.»
De fausses analogies peuvent cependant nous faire douter de la vie future : celle, par exemple, que l’on croit voir entre la destinée des végétaux et celle des animaux. Chez les végétaux tout périt à la mort ; pourquoi n’en serait-il pas ainsi de nousî Pourquoi les poètes n’auraient-ils pas raison lorsqu’ils comparent les générations humaines aux feuilles des arbres, à la fleur flétrie sans retour par le tranchant qui coupe sa tige ? • C’est, répond Butler, que la comparaison ne porte pas, attendu que, des deux sujets comparés, l’un est complètement privé de ce qui est la principale qualité de l’autre, c’est-à-dire du pouvoir de perception et d’action ; or, c’est uniquement la continuation de ce pouvoir qui est en question. Ainsi la destruction d’un végétal n’a rien d’analogue à la destruction d’un agent vivant. »
Après ce premier chapitre sur la probabilité de la vie future, Butler établit successivement, par analogie avec ce que révèle l’expérience de cette vie, que chacun dans l’autre monde sera récompensé ou puni (ch. II) ; que ces peines et récompenses seront en rapport avec ce genre de conduite que nous appelons vertueuse ou vicieuse, bonne ou mauvaise moralement (ch. III) ; —|ue la vie présente est un état d’épreuve ch. IV) et de discipline (ch. V) à l’égard le l’autre vie ; que les objections tirées de la doctrine de la nécessité ne détruisent pas l’idée d’un gouvernement divin du monde (ch. VI) ; qu’enfin les difficultés qu’on peut élever contre la sagesse et la bonté de ce gouvernement s’évanouiraient, si nous avions une connaissance du plan providentiel plus parfaite que celle qu’il nous est possible d’avoir ici-bas (ch. VII).
Butler prend pour accordé que, dans la vie présente, le cours naturel des choses, qui est objet d’expérience directe, est l’œuvre d’une puissance intelligente.il tient pour suffisantes les preuves qu’on donne ordinairement de l’existence • d un auteur intelligent de la nature, d’un gouverneur naturel du monda •. C’est son point de départ. L’expérience montre que, dans cette vie, notre conduite est récompensée ou punie suivant une certaine loi. Le bonheur et le malheur sont, la plupart du temps, les conséquences de nos actions. L’analogie commande de prolonger et d’étendre apr^s la mort l’action de cette justice divine. Mais pourquoi un Dieu bon punirait-il après la mort ? C’est un Dieu bon qui nous gouverne ici-bas, répond Butler, et vous voyez qu’il punit déjà certaines actions ; et il punit dès maintenant dans des conditions précisément analogues à celles eu, selon la religion naturelle, s exercera plus tard sa justice. Ainsi lapeine suitsouvent dans cette vie des actions qui donnent un plaisir et un profit immédiats. Elle est souvent plus grande que le plaisir et le profil obtenus. Elle est souvent différée de telle sorte qu’elle arrive quelquefois longtemps après que les actes pour lesquels elle frappe sont oubliés. Elle trappe souvent à l’improviste, et non par degrés. Enfin elle survient quand il u est plus possible de revenir sur les actes qui l’ont provoquée. < Quand l’imprudence et la mauvaise conduite ont passé certaines bornes, il n’y a plus de place pour le repentir dans le cours naturel des choses. >
Ce n’est pas tout. L’expérience montre que ce gouvernement qui s’exerce par des récompenses et des punitions est un gouvernement moral. La récompense est, dès ce monde, le prix de la vertu ; la punition, la conséquence du vice. Selon Butler, la vertu est, en général, plus heureuse que le vice. S’il en coûte de s’amender, si la souffrance accompagne tout effort pour renoncer aux habitudes mauvaises, c’est au vice qu’il faut s’en prendre ; la vertu, par elle-même, est condition de bonheur. La prudence est une espèce de vertu ; qui niera qu’elle ne trouve presque toujours ici-bas sa récompense, et que l’imprudence, analogue au vice, n’entraîne à sa suite la douleur qui la punit ? Sans doute, à cet ordre, il est des exceptions, mais elles ne sont pas conformes à la nature des choses. La tendance générale est dans le sensd’une justice distributive.qui se ferait en quelque sorte d’elle-même, si tout obstacle était écarté. Ce qui est vrai des individus l’est aussi des sociétés. Butler montre qu’un État dont tous les citoyens seraient vertueux atteindrait le comble delà prospérité et de la puissance.
L’expérience nous montre que notre condition présente est un état d’épreuve en ce qui concerne la vie terrestre. Que disent les faits ? Que mille causes perturbatrices, circonstances extérieures, passions, etc., nous sollicitent à négliger nos intérêts temporels même les plus évidents. Il est naturel de croire, d’après le principe d’analogie, que cet
état d’épreuve a pour fin non seulement la | vie présente, mais encore la vie future.
L’épreuve, selon la religion naturelle, est le moyen de nous former a la vertu et de nous faire mériter le bonheur futur. Ici encore l’expérience est d’accord avec la religion naturelle ; car elle nous apprend qu’en cette vie même l’épreuve est un moyen de discipline morale, c’est-à-dire que l’évolution qui nous conduit de la naissance à la mort a pour objet de développer nos facultés en vue d’une perfection plus grande et, par suite, d’une félicité plus complète. La vie est une éducation ; l’enfance prépare la jeunesse et celle-ci l’âge mûr ; à chaque stade, une forme supérieure d’existence est atteinte, les puissances de l’être s’épanouissent, le caractère se constitue, Le bonheur est en raison de ces progrès dont les conquêtes successives sont assurées et à mesure facilitées par l’habitude.
Mais, en résultat, dira-t-on, l’épreuve aboutit, pour le plus grand nombre, non à l’habitude de la vertu, mai 3 à celle du vice. Que d’hommes pour lesquels la condition de la vie présente semble une discipline d’immoralité 1 Que d’âmes se perdent irrémédiablement 1 Elles sont mortes, celles-là, et pour jamais, à la vertu comme au bonheur I Que
fienser d’un gouvernement providentiel dont e résultat est aussi désastreux ? Butler ne songe pas à éluder cette difficulté. C’est encore l’analogie qui en donne la solution. Des faits analogues, répond-il, se passent à chaque instant dans ce que nous connaissons de la nature. « Des innombrables germes de végétaux et d’animaux à peine en voyons-nous un sur un million qui parvienne au point ou à l’état de maturité et de perfection naturelles. La plupart périssent avant de l’atteindre. Et cependant, à moins de nier toutes causes finales, personne ne contestera que les germes qui atteignent ce point de maturité et de perfection ne répondent aux fins de la nature, et que par conséquent la nature n’ait eu en vue cette perfection. Je ne puis m’empêcher d’ajouter que l’apparence d’un si étrange gaspillage dans la nature est pour nous aussi inexplicable que la ruine présente et future d’un si grand nombre d’agents moraux. >
On voit quelle méthode suit Butler dans sa philosophie religieuse. La vie future n’est, pour lui, que l’extension et la prolongation dn règne temporel de la providence. À cette argumentation si différente du postulat kantiste de l’immortalité, on peut opposer l’antagonisme logique et historique qui existe entre la foi à la providence temporelle et la croyance à une vie future réparatrice et justiciére. Ce n’est p»3 par analogie, c’est par contraste avec la vie présente que la conscience humaine imagine et appelle la vie future. • Une difficulté, dit très bien M. Carrau, plane sur toute l’analogie. Si l’univers est soumis à un gouvernement moral, pourquoi tant d’imperfections et d’injustices ? Pourquoi les malheurs immérités, les prospérités scandaleuses ? Sans doute, l’autre vie remettra tout en ordre ; mais n’oublions pas que, pour Butler, c’est la providence ici-bas qui doit servir à démontrer la providence après la mort. L’analogie veut que le gouvernement moral soit assez visible en ce monde pour qu’il soit probable encore au delà. La situation est délicate : si tout est bien dès maintenant, à quoi bon la vie future ? et si la vie future est nécessaire, c’est que tout n’est pas bien dans celle-ci. Mais alors le gouvernement moral, dans les limites où notre expérience peut se mouvoir, n’est donc plus tellement évident, et la prémisse du raisonnement analogique peut être contestée. »ANALOGUE adj. — Electr. Se dit du pôle qui dans un corps pyroélectrique devient positif quand la température s’élève et négatif quand elle s’abaisse.
ANALTHE adj. (a-nal-te — du gr. anaU thés, incurable : a priv. ; althein, guérir). Méd. Non susceptible de guérir, incurable.
- ANALYSE s. f. — Encycl. Chim. Analyse
électrolytigue. V. électrolyse. Analyse spectrale. V. SPBCTROSCOP1E.
— Math. Analyse indéterminée du premier degré. On désigne par cette expression, ainsi qu’on l’a dit au tome I»’ du Grand Dictionnaire, la résolution en nombres entiers d’un système d’équations du premier degré indéterminé. M. Ch. Méray, professeur à la faculté des sciences de Dijon, a publié sur ce sujet un mémoire intéressant (• Annales de J’École normale »,1S83) dont nous donnerons ici une analyse succincte. « L’analyse indéterminée du premier degré, dit M. Méray, est le fondement do l’arithmétique supérieure au même titre que la théorie des équations linéaires sert de base à l’algèbre et à toute l’analyse, celle de la ligne droite et du plan à La géométrie. Cependant, si les cas les plus simples sont traités depuis longtemps, il n’en est pas de même du cas général ; du moins, en ayant eu besoin pour un autre objet, en ai-je en vain cherché la solution dans les ouvrages. >
Soit un système de m équations à » inconnues
la>x + bty +....+j> + A = o
(1)
(amx + èmj/ +..+j’mu + Am = 0
où les coefficients sont tous des nombres entiers positifs ou négatifs et dont plusieurs peuvent s’annuler. Supposons que le système soit réduit, c’est-à-dire que m soit au plus égala n-j-1 et que les déterminants d’ordre m formés par toutes les combinaisons possibles de m colonnes de coefficients ne s’évanouissent pas tous (on peut toujours satisfaire à cette condition). On suppose en outre que le système n’est pas incompatible et qu’il est indéterminé, ce qui entraîne la condition m<n.
Cela posé, pour que les équations (1) admettent des solutions entières, il est nécessaire et suffisant que les déterminants des formes linéaires obtenus en supprimant les termes connus klt'k„., km dans les premeirs membres aient pour plus grand commun diviseur ub nombre d divisant tous les déterminants d’ordre m dans lesquels se changent les premiers déterminants quand on remplaça les coefficients de l’une des inconnues respectivement par les termes connus pris dans les mêmes équations.
Quand cette condition est satisfaite, les systèmes de solutions en nombres entiers sont donnés, et une seule fois chacun, par les formules suivantes : x = l--xtl + xtt, +.... + Xn — m&n — m,
o= >ji -f- uA-)- + »n — min — m,
dans lesquelles :
îo les lettres (,8, — Un — m désignent n — m nombres entiers tout à fait arbitraires ;
ï° les «j, ..., ty constituent une solution particulière au système proposé ;
3° les coefficients d’une même indéterminée 0 satisfont aux équations homogènes auxquelles se réduisent les équations (1) par la suppression des termes Alt... , /cm ;
4° enfin, en désignant par (x, y, ..., s) le déterminant d’ordre n — m formé par les n — m lignes de ces coefficients où ne figurent pas les m lettres x, y, ..., s, et par (a, b, ..., g) le déterminant des coefficients de x, y, ... s dans les équations (1), les déterminants (x, y, ... , *){a, b, .., g)ont i pour plus grand commun diviseur et sont liés à leurs homologues ci-dessus définis par des relations de la forme
<*, * )J^h^Û.
De quelque manière qu’on les ait obtenus, si les nombres E, i>, ..., ^> jouissent seulement des propriétés 2’ et 4° de l’énoncé précédent, les formules donnent toujours, et une seule fois chacune, toutes les solutions. Mais si ces conditions n’étaient pas remplies, les formules ne donneraient pas toutes les solutions, ou les fourniraient chacune plusieurs fois. Nous renvoyons au mémoire original pour les démonstrations ainsi que pour les détails qui sortent de notre cadre.
Analyse métaphysique (l’), Méthode pour
constituer la philosophie première, par J.-E. Alaux (1872), L’objet de ce livre est d’établir la légitimité et la fécondité de la métaphysique, et de déterminer quelle méthode elle requiert. Il s’ouvre par une introduction sur le positivisme, où l’auteur s’efforce de réfuter ceux qui prétendent éliminer la métaphysique en constituant la philosophie uniquement sur les sciences physiques ou sur la psychologie. Le premier chapitre est consacré aux méthodes. M. Alaux y traite la question du critère de certitude. Il montre très bien l’insuffisance du critère cartésien de l’évidence, ■ Tout ce que je vois clairement être vrai, disait Descartes, est vrai. »-S’il en est ainsi, répond M. Alaux, je dois me tenir pour d’autant plus certain d’une chose que j’en suis plus frappé ; et nulle certitude n’égalera celle du fou, surtout s’il est incurable, car il n’en voit que plus clairement et distinctement la vérité qu’il se forge. Les délires contradictoires de deux fanatiques qui se combattent et s’excommunient l’un 1 autre sont vrais ; plus vrais encore, s’ils poussent la conviction jusqu’à l’extermination ou le feu. L’infaillible méthode qui se tire de là, c’est d’abonder dans son sens et d’affirmer avec force. J’en sais plus d’un qui la pratique à merveille. Quelles erreurs extravagantes ne justifie point la maxime cartésienne 1 Mais quelles vérités ne condamnet-elle, point, aperçues qu’elles sont presque toujours par un esprit modeste, qui se délie de soi et qui hésite 1 •
Ainsi l’évidence ne peut fournir un critère suffisant et complet du vrai qu’à la condition d’être bien définie. M. Alaux l’a définie d’après Leibniz : « la vue claire et distincte que ce qu’on affirme ne peut pas ne pas être comme on l’affirme, l’accord intrinsèque des deux idées liées par le jugement tel qu’on ne
Ïmisse les délier sans se contredire, ou que e jugement contradictoire soit contradictoire en lui-même. ■ L’évidence de M. Alaux n’est, comme on le voit, autre chose que la nécessité logique, le principe de contradiction. Mais le principe de contradiction ne suflK pas pour fonder la philosophie. Leibniz lui-même ne s’y bornait pas ; il y joignait le principe de la raison suffisante. Et, de fait, c’est sur ce dernier que reposait essentiellement son édifice de métaphysique. Condillac, chez nous, a cru que les langues, les sciences, la raison tout entière, ne procèdent que par identités, et ne se composent que d’identités. C’était réduire tout l’instrument et tous les princiuei de la connaissance au discerne-
