Lors donc que la surface d’un joint doit être courbe, il convient de l’engendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire à la surface de la voûte, et si l’on veut de plus que la surface soit développable, il faut que toutes les normales à la surface de la \oute, et qui composent, pour ainsi dire, le joint, soient consécutivement deux à deux dans un même plan. Cette condition ne pouvant être remplie, à moins que toutes les normales ne passent par une même ligne de courbure de la surface de la voûte, il faut, si les surfaces fies joints des voussoirs doivent être développables, que ces surfaces rencontrent celle de la voûte dans ses lignes de courbure. D’ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs d’une, voûte soient exécutés, leur division est toujours apparente sur la surface ; elle y trace des lignes très-sensibles, et ces lignes doivent être soumises à des lois générales et satisfaire à des convenances particulières, selon la nature de la surface de la voûte. Parmi ces lois générales, les unes sont relatives à la stabilité, les autres à la durée de l’édifice ; de ce nombre est la règle qui prescrit que les joints d’un même voussoir soient rectangulaires entre, eux, par la même raison qu’ils doivent être eux-mêmes perpendiculaires à la surface de la voûte. Aussi les lignes de division des voussoirs doivent être telles, que celles qui divisent la voûte en assises soient toutes perpendiculaires à celles qui divisent une même assise en voussoirs. Quant aux convenances, il y en a de plusieurs sortes ; mais il en est une principale : c’est que les lignes de division des voussoirs, qui, comme on vient de le voir, sont de deux espèces, et qui doivent se rencontrer toutes perpendiculairement, doivent aussi porter le caractère de la surface à laquelle elles appartiennent. Or, il n’existe pas de lignes sur la surface courbe qui puissent remplir en même temps toutes ces conditions, que les deux suites de lignes de courbure, et elles les remplissent complètement. Ainsi, la division d’une voûte en voussoirs doit donc toujours être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte, et les joints doivent être des portions de surfaces développables formées par la suite des normales, à la surface, et qui, considérées consécutivement, sont deux à deux dans un même plan, en sorte que, pour chaque voussoir, les surfaces des quatre joints et celle de la voûte soient toutes rectangulaires. » A cette analyse de Monge, il faut ajouter les considérations suivantes : une condition qui doit être généralement observée dans la construction des vailles, c’est que les voussoirs soient en nombre impair et placés symétriquement de chaque côté de celui qui doit se trouver au milieu de la voûte, pour la fermer, et que, pour cette raison, on nomme clef. Les dimensions des voussoirs dépendent des pierres que l’on a à sa disposition. Cependant, il ne faut pas que leur longueur soit trop grande par rapport à leur épaisseur, parce qu’ils se rompraient ; il faudrait, dans ce cas, les composer de plusieurs morceaux.
La construction des voûtes comprend quatre phases distinctes : 1° l’établissement et le levage des cintres, pour l’explication desquels nous renvoyons au mot CINTRE ; 2° l’exécution de la maçonnerie sur cintres ; 3° le décintrement (v. ce mot) ; 4° les travaux complémentaires qui ne peuvent être faiis qu’après le décintrement.
— Exécution des voûtes. 1° En pierre de taille. Après avoir taillé et disposé les voussoirs d’après les règles précédentes, on procède à leur pose ; Pour faire cette opération, on commence d’abord par établir la division des voussoirs, à chacune des extrémités du cintre, en marquant les points de division sur les couchis, soit par des encoches, soit en implantant des pointes ; puis, lors de la pose de chaque rang de voussoirs, on trace au moyen de règles, sur les couchis, la ligne d’arasé du lit supérieur de ce rang, en tendant un cordeau entre les points marqués. Afin de diriger tous les plans de joints normalement à l’intrados, on se sert de fausses équerres, dont l’un des côtés est une certaine longueur de l’arc d’intrados, et l’autre côté une normale à cet arc. Pour la pose des voussoirs, on interpose dans chacun des joints un lit de mortier d’une épaisseur uniforme de 0m,015 pour les voûtes de grande dimension, et d’au moins 0m,008 pour les petites ; puis on les affermit, au fur et à mesure de leur pose, au moyen d’un maillet en bois, afin de ne pas faire d’écornures, et l’on veille à ce que les vides qui peuvent exister entre les lits et les joints, par suite de défauts dans les pierres, soient remplis avec des éclats enfoncés à bain de mortier. Les deux côtés de la voûte se montent en même temps, d’abord pour que leurs poussées se fassent équilibre sur le cintre et ne le détruisent pas, et ensuite pour que, les mortiers prenant la même consistance des deux côtés, le tassement qui a lieu après le décintrement soit égal. On ne commence une nouvelle assise de voussoirs que quand la précédente est terminée ; cependant, depuis quelques années, on suit une autre méthode, qui a l’avantage de diminuer la charge sur le cintre et de ne la placer que progressivement. A cet effet, on commence par poser sur cales tous les voussoirs de tête, puis on fiche les joints au ciment de Vassy. Ces deux têtes
terminées, on procède à la pose des voussoirs intermédiares, pour lesquels on emploie le même mode de fixation, c’est-à-dire qu’on les pose sur cales et qu’on les fiche au ciment au fur et à mesure, mais de manière à avoir toujours au moins deux assises non fichées, afin de ne pas déranger les voussoirs posés. Ce mode a été appliqué pour la première fois à la reconstruction du pont Notre-Dame, à Paris. La partie la plus délicate de l’exécution d’une voûte est sa fermeture, qui doit être faite de manière à limiter, autant que possible, l’abaissement au sommet lors du décintrement. Cette opération se fait de plusieurs manières différentes ; la méthode suivante est celle que l’on préfère aujourd’hui. Elle consiste à poser à sec sur les cintres les contre-clefs et la clef, en les espaçant de manière à réserver l’épaisseur des joints, à remplir ensuite ces derniers en y coulant du mortier de ciment. Ce dernier étant coulé, on ébranle un peu chaque pierre afin de bien le faire pénétrer sur tous les points, ou on l’enfonce en le fichant avec une truelle. La plupart des voûtes fermées de cette manière ont éprouvé des affaissements peu sensibles lors du déentrement.
2° En petits matériaux. Pour les voûtes en moellon, brique, etc., le mode d’exécution est à peu de chose près le même que pour les voûtes en pierre de taille. Les joints ne doivent pas se correspondre dans deux assises voisines, et quand la voûte est en moellon ou meulière piqués, ou en brique, on trace les joints longitudinaux, sur les couchis. Les moellons ou meulières doivent être un peu plus épais à la queue que vers le parement de douelle ; s’il en est autrement, il faut remplir tous les vides résultant des moellons maigres de queue, au moyen d’éclats de pierre dure, qu’on enfonce à bain de mortier. Dans ces dernières années, M. de Lagallisserie, ingénieur des ponts et chaussées, fit l’application du ciment de Vassy. Le pont aux Doubles et le Petit-Pont, à Paris, sont établis avec ce ciment et ont démontré les avantages que l’on peut tirer de son emploi dans ce genre de travaux. La prise du mortier étant presque instantanée, la voûte ne forme alors qu’un seul voussoir après son achèvement, et n’éprouve aucun tassement sensible au décintrement. La pression à la clef se reporte d’une manière plus uniforme sur la totalité de l’épaisseur, et la force de cohésion du mortier dans chaque joint, tendant à diminuer notablement cette pression, permet de réduire sans danger la flèche et l’épaisseur à la clef. Les mortiers à prise prompte, tels que le plâtre, les ciments, etc., et les matériaux, bien gisants permettent d’établir certaines voûtes sans faire usage de cintres. A cet effet, on les construit par zones obliques, que l’on ferme au fur et à mesure, afin que l’équilibre de la voûte ait lieu successivement.
— Théorie des voûtes. Les conditions de l’équilibre mathématique des voûtes ont occupé un grand nombre de géomètres et de savants ; Parent et de La Hire, de l’Académie des sciences, passent pour être les premiers mathématiciens qui aient cherché à les déterminer ; ils ont d’abord considéré les voûtes comme un assemblage de voussoirs ou pierres taillées en forme de coin, susceptibles de glisser sans obstacle les unes sur les autres comme des corps dont les surfaces seraient infiniment polies. La Hire, dans son Traité de mécanique, imprimé en 1695, a admis, pour évaluer les actions qu’une voûte excerce contre ses culées, l’existence d’un groupe de forces qui, eu égard aux dimensions de la voûte, paraissait conforme à la réalité. Il admet que toute voûte a la faculté de se rompre, de telle sorte qu’il y a un joint de rupture placé à égale distance de la clef et de la naissance. Il considère les parties supérieure et intérieure de la voûte, y compris la culée, comme deux solides invariables et sans joints, et il calcule la pression au joint de rupture en le regardant comme absolument poli et en attrribuant à la partie supérieure la fonction d’un coin qui exerce une pression normale contre le joint de rupture. Dans les Mémoires de l’Académie des sciences de 1729, Couplet adopte d’abord l’hypothèse des voussoirs polis ; puis, en 1730, il considère les matières dont on compose les voûtes comme des corps tellement grenus qu’ils ne peuvent pas glisser. En 1732, Danisy, de l’Académie de Montpellier, fit des expériences publiques pour déterminer l’épaisseur qu’il est indispensable, de donner aux pieds-droits pour les mettre à même de résister à la poussée des voûtes. Le Père Dorand et M. Gautier, architecte et ingénieur des ponts et chaussées, ont aussi établi des règles qui ne paraissent malheureusement reposer sur aucun principe. M. Frezier, dans son Traité théorique et pratique de la coupe des pierres, a rappelé les théories de La Hire, Couplet, Bernouilli et Danisy ; il est le premier qui ait tenté de les appliquer aux voûtes sphériques, sphéroïdes, annulaires et composées. Plus tard, Eytelwein perfectionna la théorie de La Hire sous le nom de théorie du coin ; il la fit suivre d’une discussion où il considère le frottement entre les voussoirs et cherche les conditions d’équilibre de glissement, en supposant que les pierres de la voûte ne puissent être en équilibra sans l’intervention d’un frottement.
Coulomb présenta, en 1773 , à l’Académie des sciences, un mémoire sur l’équilibre des voûtes ; il porta son attention, non-seulement sur l’équilibre de glissement, que La Hire prenait pour base unique de sa construction, mais aussi sur les conditions réelles de l’équilibre de rotation. Cette théorie, qui est encore adoptée aujourd’hui, a été successivement développée et perfectionnée par MM. Audry, Navier, Persy, Petit et Poncelet. En 1774 et 1776, Bossut fit imprimer deux mémoires sur la théorie des voûtes en berceau et sur celles en dôme. En Italie, MM. Lorgna et Mascheroni, de Bergame, publièrent, chacun de son côté, vers 1785, des ouvrages où il est question des coupoles à bases circulaire, elliplique et polygonale. Les auteurs allemands Gerstner, Knochenhauer et Schubert fondent la théorie des voûtes sur la considération d’une chaînette ou de courbes analogues ; après avoir imaginé que les points d’application des pressions résultantes sur les différents joints soient réunis par une ligne qui, pour des voussoirs de dimension finie, est polygonale, et pour des voussoirs infiniment minces, est une couche continue, ils cherchent sous quelles conditions cette ligne sera en état de supporter les charges afférentes à la voûte, par la résistance longitudinale de ses éléments et les réactions latérales aux sommets d’angle. Pour exposer les conditions d’équilibre des voûtes, divers, auteurs font usage d’une théorie nouvelle, fondée sur la considération des courbes des pressions ; suivant M. Poncelet et divers auteurs, Moseley serait le premier qui ait pris pour base la courbe des pressions et qui ait cherché à lever l’indétermination où demeurait la vraie courbe des pressions parmi toutes celles qui sont possibles dans une voûte stable ; il y est arrivé en introduisant dans la science le principe de la moindre résistance, développé et perfectionné par M. le docteur Hermann Scahffler, dans son Traité de la stabilité des constructions, traduit et annoté, en par M. Victor Fournie, ingénieur des ponts et chaussées. D’autres auteurs ou écrivains, tels que M. Victorin Chevallier, ingénieur en chef des ponts et chaussées, réclament en faveur de M. Méry, ingénieur français, la priorité sur M. Moseley, pour avoir, dès 1829, rédigé un mémoire sur la stabilité des voûtes se fondant sur la théorie des courbes des pressions, tandis que M. Moseley n’aurait fait paraître ses études qu’en 1833, 1837 et 1843. Cette méthode de la courbe des pressions, telle que Méry et Moseley l’ont développée, laisse subsister l’indétermination qu’on rencontre dans une voûte stable ; en effet, ces auteurs ne cherchent que les courbes correspondantes au minimum et au maximum de la poussée, et ils avancent que, dans chaque demi-voûte, la première courbe doit nécessairement toucher l’intrados près des naissances, et l’extrados dans le voisinage du sommet, et que la seconde doit toucher l’intrados près du sommet et l’extrados près des naissances. M. Hagen, en 1844, fonde également la théorie des voûtes sur la considération de la courbe des pressions ; il fixe, une fois pour toutes, le point d’application de la poussée à la clef, au milieu de celle-ci, et le point inférieur de la courbe des pressions au milieu du joint des naissances, et il exige, en outre, que cette courbe passe par les milieux de tous les joints. M. Weisbach base simultanément la théorie des voûtes sur la chaînette et la courbe des pressions. M. Barlow (1847) adopte la théorie de Moseley, en considérant la courbe enveloppe de la courbe des pressions. M. Cavallo, ingénieur des ponts et chaussées, en fit paraître un mémoire sur la recherche de la position de la courbe des pression, en admettant que la voûte est surmontée de tympans en maçonnerie, identiques à la matière des voussoirs, et en supposant les joints des voussoirs verticaux ; dans cette théorie purement analytique, cet ingénieur rend la courbe des pressions complètement indépendante de l’extrados. En 1854, M. Yvon-Villarceau a publié, dans le Recueil des savants étrangers, un mémoire sur la théorie des voûtes, dans lequel il admet que les matériaux superposés à la voûte peuvent, par certains artifices de construction, presser comme un liquide de densité égale à la leur, c’est-à-dire exercer sur chaque voussoir des actions normales à l’extrados, avec une intensité proportionnelle à la hauteur de l’horizontale qui limite le remplissage de la voûte au-dessus de ce voussoir. Il est amené à admettre en principe que la résultante des efforts appliqués sur chaque voussoir passe par le centre de gravité du voussoir en étant en chaque point tangente à la courbe des centres de gravité, et, par conséquent, normale aux divers joints tracés suivant le rayon de courbure de cette courbe. A l’aide de cette théorie, on obtient une forme da voûte dont la stabilité n’exige ni l’intervention des frottements ni la cohésion du mortier, et qui exerce en chaque point des matériaux une égale pression. Il existe encore beaucoup d’autres théories et un grand nombre d’expériences faites dans le but de chercher la solution du problème indéterminé de l’équilibre des voûtes jusqu’à ce jour, rien de bien positif n’a simplifié la détermination des dimensions à donner au corps des voûtes ainsi qu’à leurs culées ; on en est encore, malgré tous les savants mémoires, à l’époque
des tâtonnements et des hypothèses ; toutefois, la théorie de Coulomb et la recherche de la courbe des pressions mettent à même de construire des voûtes en équilibre et de se rendre compte, imparfaitement, mais suffisamment pour la pratique, de la manière dont les pressions se transmettent de voussoir en voussoir.
La figure et les dimensions générales d’une voûte sont déterminées par la destination de l’édifice dont cette voûte fait partie. Ainsi, on regarde ordinairement comme données l’ouverture de la voûte, la courbe d’intrados, la hauteur des pieds-droits, la distribution des poids que la voûte doit supporter. On se donne aussi d’avance, d’après l’exemple des constructions analogues à celle que l’on projette, et regardées comme les plus parfaites, l’épaisseur de la voûte au sommet. Celte épaisseur est conservée la même dans toute l’étendue de la voùte, ou bien on l’augmente progressivement du sommet aux naissances.
Lorsque les dimensions d’une voûte et de ses culées sont réduites au point de ne pouvoir se soutenir, on remarque, au moment où l’équilibre va se rompre, qu’en général la voûte s’ouvre, comme l’indique la figure ci-dessous, à l’intrados à la clef, à l’extrados en des points dans les reins de la voûte, et que les pieds-droits tournent autour de l’arête extérieure de leur base. Quelquefois, à la rupture, on remarque que la voûte se fend à la clef et dans les reins, mais sans s’ouvrir, et que les pieds-droits glissent sur leur base. Il existe encore un troisième cas possible : c’est celui où le voussoir inférieur exerce, pour tomber en avant, un effort plus grand que celui que produit le voussoir supérieur pour le faire tourner en sens contraire. Alors la voûte s’ouvre, comme dans le premier cas, mais à l’extrados à la clef, à l’intrados aux reins, et les pieds-droits tournent autour de l’arête intérieure de leur base.
Premier cas. On peut considérer une voûte comme composée de quatre voussoirs séparés par les joints où la rupture est possible, se maintenant mutuellement en équilibre. Au moment où l’équilibre se rompt, on peut supposer théoriquement que les voussoirs ne posent plus entre eux et sur le sol que par des arêtes a, 6, b’, c et e’(voir figure ci-dessus) ; alors ao, bc, ab’, b’c’sont entre eux dans même état d’équilibre que les droites rigides c, ab’, b’c’, dont l’es poids sont ceux des voussoirs, et dont les centres de gravité sont placés aux points G’, g’, etc., situés sur les verticales passant par les centres de gravité G, ff, etc., des voussoirs. Pour abréger les calculs relatifs à la poussée des voûtes, on ne considère qu’une tranche de voûte de 1 mètre de longueur, et s’il y à équilibre sur mètre, il est évident que l’équilibre subsiste dans toute l’étendue de la voûte. - Soient : ad = x ; de = x2 ; ef = y ; fc = y’ ; bh = z ; ci = z ; P le poids du voussoir ab et Q celui du voussoir bc. Le poids P appliqué en G’ ou même en A se décompose en deux forces verticales, l’une P〖z/x〗, appliquée en a, et l’autre P〖(x-z)/x〗, appliquée en b. Le poids Q, agissant en g’ ou même en i, se décompose également en deux forces verticales, l’une Q〖z'/x'〗, appliquée en 6, et l’autre Q〖(x'-z')/x'〗, appliquée en c. Les voussoirs de droite fournissent les mêmes composantes. Ainsi, au point a agit une force verticale 2 P〖z/x'〗, qui se décompose en deux forces égales dirigées l’une suivant ab et l’autre suivant ab’. Représentant par C l’une de ces composantes, on a
Cette force, agissant suivant ab, peut être supposée appliquée au point b, où elle se décompose en deux autres : l’une verticale, égale à P〖x/x〗, et l’autre horizontale et égale à P〖x/y〗. Considérant alors le voussoir bc, on voit qu’il est sollicité par la force horizontale P〖x/y〗, appliquée au point b, et par les forces verticales Q, P〖(x-z)/x〗 et P〖z/x〗 appliquées,
