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rapport à *. Mais il suffira, pour lever l’indétermination, de se donner la valeur de chacune d’elles pour une valeur particulière de
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■ la variable. Comme X(o) = 0, p(o) et v(0) seraient égaux k ± 1, on fait p(o) = -f 1 et v(o) = + 1 ; cela revient à dire que
et
et — r. *
+ r — *
J0 tf/i^Ty/(i-v.)(i-r-^, u.)’i
cest-à-dire enfin, si l’on désigne par u, et w, les quadruples des intégrales définies
ai*
et
Jl «£ 0 ^T^yV-^-^l^)
V’/t"
V^K’Tri^)
3ui ne sont autres que les premières périodes es fonctions
et
et
As, g, k) - fë - s, g /rTftî, -~=
>(J, g, A) = x(^-i !, gV^^7, -^ V
4 t/i - AV
Les fonctions As, g, k) et v(s, #, A) sont bien déterminées et doublement périodiques puisqu’elles s’expriment par des foliotions X. D’ailleurs, comme ce sont des fonctions de X(.v, g, k), les périodes devront avoir entre elles des relations simples, mais elles ne seront pas nécessairement identiques. C’est ainsi que
sin s tang s.= —,
y7—sin*s
et cependant la période de tang s est moitié de la période de sin ’s, et réciproquement quoique»
tang s
^J+’tang’a
cependant la période de sin » est double de Celle de tang s.
'.T®e-ta' f'unction !*• La fonction p(s, g, k) se réduit à cos s lorsque k = 0 et que g = 1. Si g restait quelconque, elle se réduirait à
VI—sin 'ys.
Cette fonction est paire. En effet, on a vu, formule (7), que
et p(s, g k) n’est autre chose que
Kî-"^-^)’
u désignant la première période de
Vk’-iJ
Les périodes de la fonction u.(s, g, k) sont celles de la fonction
K^-^v^b)’
c’est-à-dire
V*^-*
dx
0"
■»’)( !
A1 -1
X1
et
V fc’ -1
, r. k dx
■«•)(i- ij
À’ —1
- ’).
Mais ces périodes doivent dépendre de celles de M», g, k, ), puisque d’ailleurs
Il s’agit de mettre ces relations en évidence.
En premier lieu, si s augmente de u, X reprend sa valeur primitive et il en est de même de a’ ; mais ce n’est pas une raison pour
que 1». = v’l —1* reprenne aussi sa valeur initiale. Il pourrait se faire que le radical eût changé de signe, et c’est ce qu’il s’agit de savoir. Pour chaque valeur de X, j/i — x* a deux valeurs ± (m + m’ /— l) ; quand X reprend sa valeur initiale, m et m’ reprennent en même temps leurs valeurs primitives, ou prennent alors des signes contraires ; mais l’un des changements ne peut aller sans l’autre. Du reste m et m’ ne pourraient changer simultanément de signe que si X passait accidentellement par 1 une des valeurs ± 1 ; en général, les changements de signe auront lieu successivement, savoir : celui de m lorsque m passera par zéro, c’est-à-dire au moment ou X prendra une valeur réelle plus grande que l ou plus petite que — 1, et celui de m’ lorsque m’ passera par 0, c’est-à dire lorsque X prendra une valeur réelle plus petite que 1 ou plus grande que — 1, ou encore une valeur imaginaire sans partie réelle.
Il s’agit de savoir ce qui doit arriver dans un intervalle où s croit de m.
- augmente de <a lorsque le point de contact
avec la courbe réelle de la conjuguée sur laquelle se trouve successivement le point xy a décrit un arc de cette courbe réelle auquel corresponde l’aire u, si toutefois le point xy se retrouve alors a la même place sur la même conjuguée où il était d’abord, et que l’aire engendrée par te diamètre correspondant aux cordes réelles de la conjuguée mobile sur laquelle se trouve le point xy soit identiquement nulle ; l’aire « peut s’engendrer ainsi de deux manières différentes, le point de contact en question parcourant soit les quatre branches AB, B’A’, A’B"’, B"A soit les quatre branches AB, DE, E’D’, B’A’, ou, ce qui revient au même, les quatre branches A’B’", D’"E"’, E"D", B"A ; dans tous les cas, l’aire engendrée par le diamètre correspondant aux cordes réelles de la conjuguée mobile est nulle d’elle-même parce que ce diamètre subit alternativement les mêmes déplacements en sens contraires.
PERI
Dans le premier cas, x passe une première fois par une valeur réelle plus grande, que 1 au moment où le point de contact de la conjuguée à laquelle appartient le point xy est à l’infini en B ou en B’, ce qui est la même chose ; m change alors de signe ; x passe ensuite par une valeur réelle plus petite que— 1, lorsque le point de contact en question est a l’infini en B’" ou en B", et m change encore de signe ; m reprend donc son signe primitif. Quant à m’, il ne s’annulerait dans ce parcours que si le point xy passait sur la courbe réelle ; mais pour qu’il revînt à son point de départ sur la conjuguée où il se trouvait d’abord, il faudrait bien qu’il passât un nombre pair de fois sur la courbe réelle. Ainsi, dans ce premier cas, i* reprend sa valeur initiale.
Dans le second cas, x passe une première fois par une valeur réelle plus grande que 1 au moment où le point de contact de la conjuguée à laquelle appartient le point xy est à l’infini en B ou D ; m change alors de signe j x passe ensuite par une valeur imaginaire sans partie réelle, lorsque le point de contact en question est à l’infini en E ou E’ et m’ change alors de signe ; x repasse de nouveau par une valeur réelle plus grande que 1 lorsque le point de contact arrive en D’où B’, et m reprend son signe primitif. Enfin, si le point de contact était parti de M, par exemple, comme il faut qu’il arrive en M" pour que le tour soit achevé, x repasse encore par une valeur imaginaire sans partie réelle lorsque le point de contact arrive en A’, et m’ reprend son signe primitif.
Ainsi, dans tous les cas, p reprend sa valeur initiale lorsque s augmente de u. Il résulte de là que la période u de (s, g, k) est aussi une période de v-(s, g, kj.
La seconde période 0/ de X n’est pas une période de p, car, pour que s augmente de u’, il faut que le point xy ait fait le tour d’un anneau de conjuguée, c’est-à-dire qu’il ait passé, par exemple, une fois sur AB et une fois sur E’D’ ; x ayant alors pria successivement une valeur réelle moindre que 1 et une plus grande, les deux parties m et m’ de
PÉRI
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ont changé de signe une seule fois chacune, et, quoique 1 ait repris sa valeur initiale, P en a pris une égale et de signe contraire. On pourrait prendre 2a’ pour seconde période de p, puisque deux tours faits par le point xy sur un même anneau ramèneraient p à sa valeur initiale ; mais puisque
p(V + s) = — p(s),
et que, d’autre part,
f(i+i) = "~i’W’
car p est une fonction X, ayant pour première période u, et l’on bail que
il en résulte
i(|+*)—lw«
et, par conséquent, on peut prendre pour
seconde période p-+tj’ ; c’est ce que l’on
fait habituellement. La fonction p s’annule.quand X prend l’une
des valeurs ± 1, c’est-à-dire quand s = ±—,
et devient infinie quand X est lui-même init’
iîni, c’est-à-dire quand s— — ou — I—,
La
u, désignant la première période do
il
somme des deux premières valeurs de s est 0 ; celle des deux autres est la seconde période de la fonction ; on retrouve donc cette propriété que la somme de deux valeurs non réductibles qui rendent la fonction nulle est égale à celle de deux autres, aussi irréductibles, qui la rendent infime, plus un nombre quelconque de périodes.
— De la fonction v. La fonction *(s, g, k) se réduit à une constante l lorsque k s 0. Cette fonction est paire, car
* Vl-k*J
it la première période do
et l’on a vu, formule (7), que Ainsi. •
"(*, g, k) = v(— s, g, !c). Les périodes de v(s, j, k) sont celles de
(*,9Vfkr=ï, —±'== ;
mais elles sont aussi liées à celles de X(î, g, k), puisque
»{*, 9. k) = Vï— kV(s, g, ky Si * augmente de u, X reprend sa valeur primitive et il en est de même de X1 ; il s’agit de savoir combien de fois /1 — k’* change
de signe dans l’intervalle. La discussion est analogue à celle qui a été faite relativement à p. Supposons d’abord que l’aire u soit engendrée sur les branches AB, B’A’, A’B"’, B"A : X prendra successivement quatre valeurs réelles comprises entre 1 et t et deux
valeurs imaginaires sans parties réelles ; la partie réelle de ■» ne s’annulera donc pas une seule fois, elle ne changera donc pas de signe-, quant à la partie imaginaire, elle s’annulera six fois et changera autant de fols de signe. Si la période u est engendrée sur les branches AB, DE, E’D’, B’A’, X prendra successivement deux valeurs réelles comprises entre 1 et t et deux valeurs imaginaires
sans parties réelles ; la conclusion sera encore lu même ; toutefois, la partie imaginaire de v ne changera que quatre fois de signe.
La période serait donc au plus m ; mais les résultats obtenus semblent indiquer que » est même trop étendu, puisque, la partie réelle de v ne changeant pas de signe, il suffirait que la partie imaginaire en changeât deux fois» Effectivement, si l’on fait passer le point xy d’une conjuguée tangente à AB en M, par exemple, sur la conjuguée tangente au point diamétralement opposé en M", et que d’ailleurs les positions initiale et finale du point xy soient aussi diamétralement opposées, les
ta
valeurs de s différeront de - parce que le diamètre correspondant aux cordes réelles de la conjuguée mobile aura encore subi des déplacements égaux en sens contraires ; les x
- seront égaux et de signes contraires, X1 aura
la même valeur, et le point xy ayant passé une fois sur la conjuguée HKG ll’K’G', et une fois sur la conjuguée F’A’F*", la partie imaginaire de v aura changé deux fois de signe.
la
— est donc la première période de v.
Il convient de remarquer que l’on ne pourrait pas engendrer l’aire - sur la branche AB,
à partir du point M par exemple, sur la branche DE et sur une portion de E’D’ équivalente à AM, quant à son aire ; en plaçant le point xy sur la conjuguée d’arrivée en un point tel que la corde réelle qui en partirait séparât dans l’anneau un segment équivalent à celui que séparait la corde réelle issue du point de départ, on laisserait un intervalle équivalent à un demi-anneau entie les deux points de départ et d’arrivée ; les x de ces deux points seraient donc tout différents ; mais aussi l’aire engendrée ne serait pas
simplement -, elle se composerait de -, de
l’aire réelle engendrée par le diamètre correspondant aux cordes réelles de la conjuguée sur laquelle se serait successivement trouvé le point xy, enfin de la différence des
y’ valeurs de -^ aux deux points extrêmes. Pour
2C *
retrouver de cette manière la valeur initiale de v, il faudrait compléter le tour entier, correspondant à la période u.
La seconde période de v n’est pas u’, car, si l’on fait suivre au point xy un anneau de conjuguée, x passe une fois par une valeur réelle moindre que 1 et une fois par une valeur réelle supérieure à -. Au moment du
premier passage, la partie imaginaire de * s’annule pour changer de signe ensuite ; au moment du second, c’est la partie réelle qui s’annule ; un tour entier ramène donc v avec une valeur égale et de signe contraire à sa valeur primitive ; il faut donc effectuer deux tours entiers pour retrouver la même valeur de v. Ainsi la seconde période de » est !«’. Les valeurs de s pour lesquelles v s a sont
celles qui rendent X = ± j- ; ce sont
- ( ;+ ?)’ •
celles qui rendent v = » sont celles qui font
la fia toi
X = 00, ce sont ± — I - -1— se réduisait à
’ 2 ' 2
—, puisque la première période de v est -).
La somme de deux valeurs de s, non réductibles, qui donnent v = 0 est encore égale à celle de deux valeurs non réductibles qui donnent v = 00, plus une somme de multiples quelconques des deux périodes.
La fonction doublement périodique bien déterminée la plus connue npres les précédentes est
A’, 9, k)
= « (s, 9, k),
qui est l’analogue de la tangente. On peut naturellement en former une infinité d’autres.
La fonction de s, déterminée par l’équation
■yVss.
est doublement périodique, comme les précédentes (v, période) ; mais elle a une infinité
