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changement dans la voyelle du thème. C’est ainsi que mon, homme, a pour pluriel men, et que/bof, pied, se change au pluriel en feet.
L’allemand forme, selon les déclinaisons, le pluriel de ses noms en e, er pu en, avec altération de la voyelle du singulier. Ce changement de la voyelle du singulier, que nous venons déjà de signaler en anglais, est une particularité propre aux langues germaniques. Quelquefois, le substantif allemand reste invariable au nominatif et à l’accusatif de ses deux nombres. Die Engel, les anges, ne diffère que par l’article de der Engel, l’ange.
En italien, les terminaisons les plus ordinaires du pluriel sont i pour les noms masculins et e pour les féminins ; ainsi libro, livre, a pour pluriel libri ; casa, maison, a pour pluriel case ; Vi représente probablement l’i du nominatif pluriel latin de la seconde déclinaison, et l’e Y m du nominatif pluriel de la première déclinaison.
Les flexions propres au nombre, dans les langues à flexions, ne s’appliquent d’une manière nécessaire qu’aux noms et aux pronoms qui, seuls, outre l’idée principale du mot, ont besoin d’exprimer la notion de quotité ; cependant la plupart des langues ont étendu l’application de ces formes à des mots qui n’expriment pas les objets susceptibles d’être comptés, mais ne font que se rapporter à ces objets. C’est ainsi que la distinction grammaticale des nombres se fait sentir dans les adjectifs et dans les verbes ; dans les adjectifs, elle s’exprime généralement de la même façon que dans les substantifs, mais, dans les verbes, elle est marquée d’une façon différente.
Lé nombre est exprimé ici, non plus par afrixes spéciaux indiquant le singulier, le duel ou le pluriel, mais par une modification de la flexion personnelle, de sorte que le même suffixe qui indique la personne désigne en même temps le nombre. Ces sufrixes personnels qui indiquent à la fois la personne et le nombre ont dû être, dans l’origine, des pronoms ; les pronoms singuliers des diverses personnes se sont joints au thème pour exprimer les diverses personnes du singulier, et les pronoms pluriels pour exprimer les diverses personnes du pluriel, etc.
La règle de l’accord en nombre subit des exceptions. En français, n’ayant égard qu’au sens et laissant de côté le caractère grammatical du mot, on dira fort bien : Une foule de soldats ont péri. Turba ruwtt, la foule se précipite, disaient aussi les Latins. Par une exception toute contraire, les Grecs pouvaient mettre le verbe au singulier quand le sujet pluriel était du genre neutre. Tauta estin agatha, disaient-jls ; littéralement : Ces choses est bonnes.
— Gramm. franc. Le substantif nombre devient un collectif quand il est suivi de la préposition de et d’un mot pluriel ; alors il suit la règle des collectas. On peut seulement remarquer ici que si nombre est employé comme collectif indéterminé, sans article ni adjectif déterininatif, les variables en rapport avec lui s’accordent toujours avec le mot pluriel : Nombre de voyageurs ont péri dans ce dangereux passage.
— Philos. liant, faisant l’analyse des concepts de notre raison, donne à 1 idée de nombre une place importante : il en fait l’intermédiaire par lequel s’applique aux phénomènes de l’expérience la catégorie pure de la quantité. Le nombre est, du moins, la détermination de la quantité, et la quantité est un caractère essentiel du fini. Si la quantité déterminée est le nombre, les lois du nombre doivent être les lois mêmes du monde. Il n’y a donc pas lieu d’être surpris que d’anciens philosophes, frappés de l’importance du nombre, en aientexagéré le rôle au point de prétendre expliquer par lui toutes choses, d’accorder à cette abstraction, mal à propos réalisée, je ne sais quel empire mystérieux et divin et d’en faire le principe de l’univers. Les superstitions de presque tous les peuples s’accordèrent à voir dans le nombre trois, dans le nombre sept, des nombres sacrés. La philosophie n’a pas laissé que d’être atteinte elle-même par des chimères de ce genre. Des écoles considérables accueillirent, sur les influences dés nombres, les plus étranges rêveries. D’autres, sans tomber dans ces écarts d’imagination, ont fait du nombre un des principaux éléments de leur métaphysique : deux surtout, deux écoles grecques, imprimèrent à leurs idées une direction tout à fait mathématique ; ce furent l’école des mathématiciens Ue la Grande-Grèce ou de Pythagore et l’école de Platon.
Pythagore, grand mathématicien, auteur de découvertes célèbres en arithmétique et en géométrie, lit des nombres des êtres substantiels, principes de tous les êtres. Voici en quels termes Aristote expose la doctrine pythagoricienne : « Ceux qu’on nomme pythagoriciens s’appliquèrent d’abord aux mathématiques et firent avancer cette science. Nourris dans cette étude, ils pensèrent que les principes mathématiques étaient les principes de tous les êtres. Les nombres sont, de leur nature, antérieurs aux choses, et les pythagoriciens croyaient apercevoir dans les nombres, plutôt que dans le feu, la terre et l’eau, une foule d analogies avec ce qui est et ce qui se produit. Telle combinaison de nombres, patexemple, leur semblait être la justice ; telle autre, l’âme et l’intelligence ; telle autre, l’a NOMB
propos, et ainsi à peu près de tout le reste. Enfin, ils voyaient dans les nombres les combinaisons de la musique et ses accords. Toutes choses leur ayant donc paru formées à la ressemblance des nombres, et les nombres étant, d’ailleurs, antérieurs à toutes choses, ils pensèrent que les éléments des nombres sont les éléments de tous les êtres et que le ciel, dans son ensemble, est une harmonie et un nombre. Toutes les concordances qu’ils pouvaient découvrir dans les nombres et dans la musique avec les phénomènes du ciel et ses parties et avec l’ordonnance de l’univers, ils les réunissaient, ils en composaient un système. Et si quelque chose manquait, ils employaient tous les moyens pour que le système présentât un ensemble complet. »
Est-ce à la lettre, est-ce en un sens métaphorique et symbolique qu’il convient d’entendre cette doctrine de Pythagore ? Il est difficile de penser que toute une école sérieuse ait pu confondre ainsi l’êlre avec un rapport.
On sait que la théorie des idées, qui est comme la pierre angulaire du platonisme, en est une sorte de généralisation puissante. Les nombres, qui sont des rapports, sont donc des idées ; et Platon fait des idées ce que Pythagore fait des nombres, les principes des êtres. Mais il eut aussi une théorie des nombres, sorte de traduction en langage pythagoricien de sa propre théorie des idées. Celle-ci consiste essentiellement en ce point que les choses réelles, imparfaites, passagères, relatives, sont des participations des idées parfaites, immuables, absolues, types divers ou plutôt formes diverses d’un type unique et suprême, le bien. Deux éléments donc ou deux principes dans les choses : un principe inférieur, l’indéterminé (que Platon nomme l’infini ou mieux l’illimité, « âmipov), susceptible de plus et de moins, variable, relatif ; et un principe supérieur, le principe de la détermination, que Platon nomme le fini, la limite. Les choses sensibles existent par la participation de l’un de ces principes ou de ces éléments à l’autre, savoir : de l’infini, c’est-à-dire de l’indéfini, de l’indéterminé, de la matière, au fini, c’est-à-dire au défini, au déterminé, à l’idée. Le résultat de cette participation est le nombre sensible. Au-dessus des nombres sensibles sont les nombres mathématiques, qui, sans nous mettre en présence du véritable être, nous préparent à le contempler par la régularité, raccord, l’harmonie dont ils nous montrent l’admirable spectacle. Au - dessus encore, les nombres idéaux, pures essences, essences propres et dont chacune est le principe irréductible d’une certaine classe d’êtres, en sorte que, étant d’une nature hétérogène, ils ne peuvent se combiner, s’ajouter, se soustraire : ils correspondent aux idées, qui toutes ont leur source et leur commune racine dans l’idée du bien.
Nous ne connaissons que par la réfutation qu’en a faite Aristote, qui consacre les deux derniers livres de sa Mêla-physique à la combattre, cette philosophie platonicienne des nombres. Elle ne paraît être qu’une traduction symbolique de la théorie des idées ; mais, ■ prise a la lettre, elle diffère du pylhagorisme par la distinction des trois espèces de nombres. Les platoniciens, l’ayant prise à la lettre, effacèrent cette différence, et il y eut comme un retour du pythagorisme sous le nom du platonisme en décadence.
Telles sont les deux plus importantes formes sous lesquelles s est présentée, dans l’histoire, la philosophie du nombre. Le moyen âge n’a pas proprement sur ce point de philosophie ni de théorie, mais des superstitions. Les alchimistes crurent à la puissance du nombre aussi’bien que les partisans de la cabale. La Renaissance, ressuscitant tous les systèmes de l’antiquité, fit revivre, avec le platonisme, le pythagorisme. Nicolas de Cuss, un des plus grands esprits de cette époque, ne voit que^dans les rapports et les proportions l’intelligibilité des choses et érige ainsi le nombre en principe de la raison. Dans la doctrine de son illustre et malheureux disciple, Giordano Bruno, l’univers est un système de nombres. Les dix premiers ont chacun un sens particulier qui les rend vénérables. Il y en a de parfaits : tels sont, avant tous les autres et par excellence, un, trois, quatre, dix.
L’influence occulte des nombres, leur sens moral ou symbolique, leur signification métaphysique sont des chimères qui ne trouvent plus guère de croyant. Le nombre n’est plus du domaine de la métaphysique, mais des mathématiques et de la psychologie, en tant qu’il appartient à celle-ci d’éclaircir la nature, d’expliquer l’origine des notions de la raison.
— Arithm. Nous avons dit, au mot arithmétique, ce qu’il y avait d’essentiel à dire sur les propriétés générales des nombres ; il nous suffira d’ajouter ici quelques observations sur les propriétés des nombres figurés, des nombres parfaits et des nombres amiables.
— Nombres figurés. On appelle ainsi des suites de nombres formés de la manière suivante. Prenrtns la suite des nombres naturels l, 2, 3, 4, 5, s, 7, etc. Si nous formons un total des deux premiers nombres, puis un autre total des trois premiers, puis un autre total des
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quatre premiers et ainsi de suite, ces divers totaux formeront la série
1, 3, 6, 10, 15, .81, etc.,
qui comprend les nombres figurés du second ordre ou nombres triangulaires. Procédant de même a l’égard de cette série, il en résultera la suite des nombres figurés du troisième ordre ou nombres pyramidaux
1, 4, 10, 20, 35, 56... Nous donnons le tableau de quelques nombres figurés des cinq premiers ordres, qu’on pourrait prolonger à volonté : Ordres : 1er ne me rVe Ve
Avant la découverte delà formule de Newton, qui donne le développement général des puissances, les nombres figurés servaient dans la formation des puissances successives d’un binôme. En effet, a + b)’ = a + b, a + b)’ = a1 + Zai + b a + b)’ = a* + 3a»ô + 3aD’ + 6«, (a + b)’ = a’ + 4n’b + 6a’6' + 4ab* +b>, (a -j- b)’ =a’ + 5a*b + lOa’6' + 10aJô"
+ 5264 + 6’, etc., etc.
Si l’on considère les seconds membres, on y reconnaît aisément que les coefficients numériques des seconds termes forment la suite des nombres naturels ou nombres figurés du 1er ordre ; que les coefficients des 3<=s termes forment les nombres figurés du 2<> ordre et ainsi de suite, de sorte qu’au moyen d’un tableau assez étendu des nombres figurés on peut trouver immédiatement les coefficients numériques d’une puissance de binôme.
— Nombres parfaits. Sous ce nom, les anciens arithméticiens désignaient tout nombre qui est égal à la somme de ses facteurs ou parties aliquotes. Tel est, par exemple, 6, dont les parties aliquotes sont 1, 2 et 3.
Euclide a démontré (Éléments, liv. IX, prop. 36) que, si 2n — 1 est un nombre premier, le produit
2»-’(2B— 1)
est un nombre parfait. D’après cette formule on peut former la suite des nombres parfaits
2(2’ — l) = 6
2’(2’—1) = 28
2»(2> — 1) = 486, etc..
— Nombres amiables. Schooten, dans ses Exercitationes mathematicœ, sec. 9, appelle amiables entre eux deux nombres dont chacun est égal à la somme des parties aliquotes (facteurs} de l’autre. Tels sont, par exemple, les nombres 284 et 220. En effet, on a
284 = 1 + S + * + 5 + 10 + H + 20 + 22 + 44 + 55 + 110,
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142.
Or, le second membre de la première égalité est formé de tous les nombres qui divisent 220 sans donner de reste ; et, pareillement, le second membre de la deuxième égalité comprend tous les nombres qui divisent exactement 284. C’est la condition exigée pour que deux nombres soient dits amiables.
On ne connaît jusqu’à présent que trois couples de nombres amiables et ils ont été donnés par Schooten ; ce sont :
284 amiable avec... 220
^ 17,296 18,416
9,363,584 9,437,056
— Astr. Nombre d’or. 'V. cycle lunaire.
— Chim. Nombres affinitaires. Cette expression a été introduite dans la science par M. Avogadro, qui a cherché à exprimer numériquement les propriétés électro-négatives ou électro-positives de chaque corps, et qui a donné aux nombres qui représenteraient ces rapports le nom de nombres afflnitaires.
Dès 1811, M. Avogadro exposa dans le journal de physique de Lamétherie les raisons, aujourd’hui adoptées par la plupart des chimistes, qui le portaient à croire que dans les gaz permanents, pris à la même température et pression et suffisamment éloignés de leur point de liquéfaction, les centres des molécules intégrantes se trouvent pour tous à la même distance, et qu’un même nombre de ces molécules est, par conséquent, contenu dans un volume donné de ces gaz, en sorte que leur densité peut être considérée comme la mesure de la masse de ces molécules.
Dans un mémoire lu par le même savant à l’Académie de Turin en 1824, sur la Densité des corps solides et liquides, il avait cru pouvoir admettre, d’après les différentes données des observations, que la distance des centres des molécules serait aussi la même pour tous les corps dans chacun de ces deux états, ou leur densité proportionnelle à la masse de leurs molécules, si cette distance et cette proportionnalité n’étaient plus ou moins altérées par différentes circonstances dépendantes de la constitution de ces corps, et qui n’ont pas lieu dans l’état gazeux, où les mo NOMB
lécules sont trop écartées l’une de l’autre pour que leur influence puisse s’y exercer, et que, par conséquent, le volume moléculaire, c’est-à-dire l’espace qu’elles occupent aveu le calorique ou l’éther qui les environne, ne différerait d’un de ces corps à l’autre qu’en raison de ces mêmes circonstances.
Entre ces deux publications, M. Avogadro avait particulièrement signalé la différence d’attraction que les différents corps doivent naturellement exercer sur le calorique ou fluide impondérable, quel qu’il soit, qui les sépare et les tient à une distance déterminée, différence nécessairement liée à la nature particulière de leur substance, d’où dépendraient les différants degrés de l’affinité exercée par les molécules pondérables, même dans leurs combinaisons, et, par conséquent, à la qualité suivant laquelle les corps sont plus.ou moins électro-négatifs ou électropositifs, c’est-à-dire plus ou moins propres a former des composés jouant le rôle d’acides ou le rôle de bases les uns par rapport aux autres.
La comparaison de la densité des différents corps simples avec la masse de leurs atonies chimiques, supposés former leurs molécules intégrantes, avait conduit Avogadro à admettre que les distances des molécules des corps solides et liquides, et par là les volumes qu’elles occupent, étaient, en général, plus grandes, ou la densité, relativement à la masse de la molécule, moins considérable à mesure que les corps étaient plus électro-positifs ou moins électro-négatifs. Ce savant en avait conclu que, si l’on connaissait numériquement le rang que les différents corps tiennent entre eux à 1 égard de cette qualité, et en faisant abstraction des altérations dépendantes de la constitution particulière de chaque corps, différences qu’il supposait assez légères, on aurait pu, en comparant ces nombres aux densités observées et aux volumes moléculaires qui s’en déduisent, en tirer une formule de relation entre ces tiombres et les densités ou volumes moléculaires, relation d’après laquelle, le nombre relatif à la première de ces qualités étant donné pour une substance quelconque, on calculerait la densité que ce corps devrait présenter à l’état solide ou liquide, et réciproquement, la densité ou le volume moléculaire étant donné, on en tirerait approximativement le nombre exprimant sa qualité électro-chimique.
Partant de ces idées, Avogadro fit un essai d’application de ce principe aux nombres par lesquels il croyait pouvoir représenter cette qualité électro-négative ou électro-positive des corps, d’après leur chaleur spécifique à l’état gazeux, selon les expériences de Bérard et Delaroche, nombres qu’il désigna dès ce moment par le nom de nombres affinitaires et qu’il avait cherché à déterminer dans une série de précédents mémoires, publiés dans les Atti délia Società italiana délie scienze et dans.les.fi/emoiyes de l’Académie de Turin, dont un extrait fut publié, en IS27, dans le bulletin de Kérussac du mois de février ; mais les expériences plus précises de Dulong étant venues montrer que tous les gaz simples examinés avaient la même chaleur spécifique à volume égal, l’application du principe cité plus haut aurait conduit à admettre que les nombres affinitaires des corps, pris dans leur qualité électro-positive, sont en raison inverse de la masse de leurs molécules gazeuses, conséquence qui ne parait pas pouvoir être adoptée d’une manière générale, quoique se vérifiant par approximation pour quelques-uns des corps élémentaires ; aussi M. Avogadro renonça-t-il à ce moyen de déterminer les nombres affinitaires.
Il lui paraissait, ’néanmoins, certain que les différents corps doivent former, comme il l’avait établi dès 1809 dans son mémoire sur l’acidité et l’alcalinité, relativement à laquante électro-positive et électro-négative, une seule série, dont les pouvoirs neutralisants acides ou basiques pourraient marquer les nombres, si l’on connaissait dans une unité donnée quel est le nombre répondant à la neutralité, c’est-à-dire appartenant à un corps qui ne serait ni acide ni basique. > En effet, disait-il, ces deux pouvoirs opposés doivent être regardés, relativement à ce point, comme analogues aux températures positives ou négatives marquées par le thermomètre, relati vement au point arbitrairement pris égal à O, températures qui peuvent cependant être réunies en une série continue, s’étendant depuis un zéro absolu de température que l’on peut concevoir jusqu’aux températures les plus élevées, et il serait d’autant plus important de connaître cette série desHomér^saffinitaires, qu’elle nous fournirait le seul moyen de déterminer les divers degrés d’affinité des différents corps entre eux, dont la distance de ces nombres dans la série nous donnerait la mesure la plus naturelle, tandis que les tables d’affinités que l’on a formées jusqu’ici, fondées sur l’ordre dans lequel les corps peuvent se déplacer dans leurs combinaisons, ne Sont, ainsi que Berthollet l’a fait remarquer, que des tables de précipitation nécessairement affectées de l’influence de la cohés’on, de l’élasticité et autres conditions étrangères à l’affinité. «Dans deux mémoires qu’il publia en 1829, Avogadro, revenant sur ces considérations, chercha à déterminer la composition quantitative des divers corps neutres connus et, d’après le principe de Berthollet sur l’influence des masses dans le jeu des af-
