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posable ; mais dût-on, en réalité, faire cette addition, on pourra dans tous les cas se dispenser d’écrire huit, fois de suite le nombre 2653. On n’en comptera pas moins aisément 3 et 3 font 6 et 3 font 9, etc., jusqu’à 3 répété huit fois, qui font 24 ; 5 et *5 font 10, etc., jusqu’à 5 repété huit fois, qui font 40, et 2 de retenue 42, etc. ; mais on parvient aisément à retenir de mémoire les produits deux à deux des nombres d’un seul chiffre dont on a besoin dans ce calcul. Ces produits sont renfermés dans une table qui porte le nom de Pythagore, où les neuf premiers nombres sont renfermés dans la première ligne horizontale, leurs doubles dans la seconde, leurs triples dans la troisième, et ainsi de suite jusqu’à leurs produits par 9.
— Multiplication des fractions. Le produit 3 2
de deux fractions - et -, par exemple, devra
7 5 être les deux cinquièmes ou deux fois le cinq
quième du multiplicande -, puisque le multiplicateur est les deux cinquièmes ou deux fois le cinquième de l’unité ; on obtiendra donc ce produit en deux opérations, dont la première fournirait le cinquième du multiplicande, et la seconde deux fois ce cinquième.
3 Pour avoir le cinquième de -, il suffit d’en
multiplier le dénominateur par 5, ce qui donne 3 —, et, pour multiplier ce premier résultat
par 2, il suffit d’en multiplier le numérateur
par 2, ce qui donne —.
D’après la manière dont on l’a formé, ce produit s évidemment pour numérateur le produit des numérateurs des fractions proposées, et pour dénominateur le produit de leurs dénominateurs, et il en serait de même dans tout autre cas.
f La règle pour multiplier deux fractions l’une pur l’autre est donc d’en multiplier les numérateurs entre eux, ainsi que les dénominateurs, et de prendre les produits obtenus pour termes de la fraction cherchée, numérateur et dénominateur.
— Multiplication des nombres décimaux. Los nombres décimaux peuvent être assimilés à des fractions ordinaires, et les règles établies pour les opérations à effectuer sur ces derniers nombres se transportent aisément aux opérations à faire sur les premiers. Ainsi, en considérant deux nombres décimaux comme des fractions ordinaires, si Ton veut en faire le prodi. t, on aura à multiplier entre eux les numérateurs, c’est-à-dire les nombres proposés, abstraction faite dans chacun d’eux de la virgule, et les dénominateurs entre eux, c’est-a-dire des puissances de 10, ayant pour exposants respectifs les nombres de chiffres décimaux des facteurs du produit à former.
Nous n’avons rien à dire du produit des numérateurs ; quant à celui des dénominateurs, ce sera une puissance de 10 ayant pour exposant la somme des nombres de chiffres décimaux des deux nombres proposés. Le produit, sous forme décimale, sera donc représenté par le produit des nombres proposés, abstraction faite des virgules, sur la droite duquel produit on aurait séparé autant de chiffres décimaux qu’il y en avait dans Je multiplicande et dans le multiplicateur.
— Priticipes relatifs à la multiplication. Quels que soient les facteurs d’un produit, entiers ou fractionnaires, la multiplication peut toujours être modifiée, lorsqu’il y a lieu, d’après les principes suivants :
1» Dans un produit de plusieurs facteurs on peut intervertir à volonté l’ordre de ces facteurs.
2<> Pour multiplier un produit par un produit on peut multiplier les facteurs de l’un par ceux de l’autre, en les groupant à volonté.
30 Pour multiplier une somme on peut en multiplier les parties, en ajoutant les produits obienus.
40. Pour multiplier un nombre par. une somme on peut le multiplier par les parties de la somme, et ajouter les produits obtenus.
50 Pour multiplier une somme par une somme on peut multiplier séparément toutes les parties de l’une par les parties de l’autre, et ajouter les produits obtenus.
60 four multiplier deux puissances d’un même nombre on peut ajouter les exposants de ces puissances.
— Multiplication abrégée. Le produit de deux nombres entiers ou décimaux, approché seulement à une unité de l’ordre du dernier chiffre écrit dans chacun d’eux, s’il avait été obtenu conformément aux règles ordinaires, pourrait contenir un grand nombre de chiffres, de l’exactitude desquels on ne pourrait répondre. En effet, si l’on connaît la même nombre des premiers chiffres des deux facteurs d’un produit, on ne peut généralement répondre que de l’exactitude a autant des premiers chilïres moins un du produit, et si les deux facteurs sont donnés avec des nombres différents de figures, on ne peut généralement répondre que de l’exactitude d’autant des premiers chiffres, moins un, du produit, qu’en contient celui des deux facteurs donnés qui en a le moins.
MULT
Cependant le produit obtenu dans les conditions ordinaires pourrait contenir, dans le premiers cas, deux fois plus- de chiffres que chacun des facteurs et, dans le second, autant que dans les deux à la fois ; il y aurait donc au produit, dans le premier cas, la moitié plus un de ces chiffres qui seraient douteux et, dans le second, il y en aurait autant plus un qu’avait de figures celui des deux facteurs qui en contenait le plus.
Or, tous ces chiffres douteux du produit devraient être supprimés, s’ils avaient été obtenus : la méthode abrégée de multiplication consiste à en éviter le calcul ; elle n’est d’ailleurs pas employée seulement dans les cas dont nous.venons de parler ; il arrive souvent que l’on n’a pas besoin de connaître tous les chiffres du produit, sur lesquels ne pourrait porter aucun doute ; les simplifications auxquelles on parvient alors n’en sont que plus considérables.
Un exemple suffira pour expliquer convenablement la règle. Soit à obtenir à moins de 0,001 le produit des nombres 3 ?,4718942 et 42,3518347 : le multiplicateur n’ayant que 9. chiffres, le produit ne se composera que de 9 produits partiels ; il suffira donc que chacun
d’eux soit obtenu à moins de ■, car alors
10000 l’erreur du produit total sera moindre que
9 1
— et à plus forte raison que.
10000 r ^ 1000
Dans la multiplication par le chiffre 2 des unités du multiplicateur, l’erreur du multi Plicande, quelle qu’elle soit, sera doublée ; erreur du produit devant donc être moindre
que, il faudra que celle du multiplicande soit moindre que - ; on prendra
^ 2 10000* r
donc ce multiplicande approché à. En
rr 100000
conséquence, on écrira le chiffre 2 des unités du multiplicateur au-dessous du chiffre 9 des cent-millièmes du multiplicande, pour indiquer qu’il faudra multiplier seulement la partie 35,47189 de ce nombre par le chiffre 2 en question.
Pour étendre aux autres produits partiels la remarque qui vient d’être faite, il suffira d’observer que, quel que soit le rang décimal d’un chiffre multiplicateur, on pourra toujours le considérer comme représentant des unités simples, pourvu qu’on ait préalablement modifié d une manière convenable le multiplicande. Si on veut multiplier un nombre par un chiffre exprimant des dixièmes, des centièmes, etc, on commencera par reculer la virgule d’un, de deux, etc., rangs vers la gauche dans le multiplicande et on multipliera ensuite le résultat par le chiffre considéré ; de même, pour multiplier un nombre par un chiffre représentant des dizaines, des centaines, etc., on commencera par reculer la virgule d’un, de deux, etc., rangs vers la droite dans le multiplicande et on multipliera ensuite le résultai par le chiffre considéré.
D’après cela, on voit que pour obtenir les produits partiels du multiplicande par les chiffres des dixièmes, des centièmes, etc., du multiplicateur, dans l’exemple proposé, il faudra prendre le multiplicande approché successivement à, , — ; on placera
10000 1000’ 100
donc ces chiffres respectivement au-dessous de ceux des dix-millièmes, millièmes, centièmes, etc., du multiplicande, pour indiquer que la partie de gauche de ce multiplicande, qu’il faudra combiner avec chaque chiffre multiplicateur, commencera au ch.ffre éciit au-dessus de ce chiffre multiplicateur.
De même, dans l’évaluation du produit du multiplicande par le chiffre des dizaines du multiplicateur, il faudrait pousser l’approximation du multiplicande jusqu’aux millionièmes ; on placera donc le chiffre 4 des dizaines du multiplicateur à la droite du chiffre 2 de ses unités.
Le multiplicateur sera alors complètement renversé.
L’opération étant ainsi disposée, il se trouve, dans l’exemple choisi, que le chiffre 7 des dix-millionièmes du multiplicateur n’a rien au-dessus de lui ; cela provient de ce qu’il est d’un ordre trop faible pour donner avec le multiplicande un produit dont il doive être tenu compte ; ou pourra donc supprimer ce chiffre.
D’un autre côté, le chiffre 2 des dix-millionièmes du multiplicande, n’ayant rien au-dessous de lui, ne concourra non plus k la formation d’aucun produit partiel ; on le supprimera donc également.
Le tableau ci-joiut indiquera suffisamment comment on dispose l’opération :
35,471,894 43,815,324
150,229,959 Tous les produits partiels obtenus repré MULT
senteront des cent-millièmes. Les deux derniers chiffres de la somme pouvant être inexacts, on les supprimera et on rétablira la virgule à son rang. Le produit définitif est 1502,299.
Nous avons pris pour exemple deux nombres contenant un même nombre 9 de chiffres, et ces nombres se trouvaient donnés chacun avec une trop grande approximation, relativement a l’erreur qu’on se permettait dans l’évaluation du produit. Aussi les derniers chiffres des deux facteurs sont-ils restés sans emploi ; mais il faut remarquer qu’on en a supprimé le même nombre à chacun.
Si les deux facteurs d’un produit étaient donnés avec des nombres différents de figures, on pourrait, avant tout examen préalable, supprimer, de celui qui en aurait davantage, tous ceux de ses derniers chiffres qui seraient en excès par rapport au nombre de ceux de l’autre.
— Multiplication des monômes. La multiplication des monômes est simplement fondée sur ces principes d’arithmétique que, pour multiplier un produit par un produit, on peut multiplier les facteurs.de l’un par ceux de l’autre, en les groupant à volonté, et que pour multiplier deux puissances d’un même nombre il suffit d’ajouter les exposants de ces puissances. D’après ces principes, on trouvera que
ta’b’ x 3ab’c = 6a’b’c.
— Multiplication des polynômes. Pour arriver à la^ règle relative à la multiplication des polynômes, nous supposerons que les parties additives et soustractives aient été réunies dans le multiplicande et le multiplicateur et que, par conséquent, les deux polynômes soient tels que A — B et C — D.
Comme, pour multiplier une différence, on doit multiplier les deux parties de cette différence et retrancher les produits obtenus, le produit
(A — B)x(C — D) se mettra d’abord sous la forme
Ax(C-D)-Bx(C-C)
ou, en changeant l’ordre des facteurs dans chaque partie,
(C-D)xA-(C-D)xB,
et, en faisant de nouveau usage du même principe,
AC — AD— (BC — 13D) ;
de sorte qu’en effectuant la Soustraction indiquée on obtiendra en définitive pour le produit cherché
AC — AD — BC + BD.
Ainsi, le produit de deux polynômes se compose de ta somme des produits de leurs parties additives entre elles et de leurs parties soustractives entre elles, diminuée de la somme des produits de la partie additive de l’un par la partie soustractive de l’autre et de la partie soustractive du premier par la partie additive du second.
D’ailleurs, si l’on décompose chacune des quatres parties qu’on vient d’énumérer, le produit des parties additives se composera de la somme des produits deux à deux des termes additifs des deux polynômes.
Le produit des parties soustractives se composera de la somme des produits deux à deux des termes soustractifs de l’un et de l’autre.
Le produit de la partie additive du multiplicande par la partie soustractive du multiplicateur se composera de la somme des produits deux à deux des termes additifs du multiplicande par les termes soustractifs du multiplicateur.
Enfin, le produit de la partie soustractive du multiplicande par la partie additive du multiplicateur se composera de la.somme des produits deux à deux des termessoustractifs du multiplicande par les termes additifs du multiplicateur.
Le produit de deux polynômes se compose donc de tous les produits deux à deux des termes du multiplicande par les termes du multiplicateur, chacun de ces produits partiels portant le signe 4- ou le signe —, suivant qu’il provient de deux termes de même signe ou de deux termes de signes contraires.
On entend par ordonner un polynôme écrire ses termes dans un ordre tel que, par rapport à une même lettre, les exposants aillent en augmentant ou en diminuant d’une extrémité à l’autre du polynôme.
Lorsqu’on aura eu soin d’ordonner préalablement les deux polynômes dont on voulait faire le produit, si d’ailleurs on a écrit les produits partiels dans l’ordre où ils so présentaient naturellement, le produit total se
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trouvera de lui-même ordonné, ce qui rendra plus faciles les réductions des termes semblables.
Le produit des deux premiers termes du multiplicande et du multiplicateur est toujours seul de son espèce, parce que, provenant de3 deux termes qui contiennent, au multiplicande et au multiplicateur, la lettre ordonnatrice à la plus forte ou à la plus faible puissance, il est par cela même le terme du produit qui conticat la lettre ordonnatrice à la plus forte ou à la plus faible puissance. La même chose peut se dire du produit des deux derniers termes.
— Multiplication des radicaux. La multiplication de deux radicaux de même indice se fait en multipliant les quantités placées sous ces radicaux. Ainsi
/a x H> = y/ab :
Pour vérifier cette égalité, il suffit d’en élever les deux membres à la puissance »i.• on obtient une identité ab = ab.
Lorsque les radicaux qu’on veut multiplier l’un par l’autre n’ont pas le même indice, on les y réduit d’après ce principe que l’on peut multiplier l’indice d’un radical par un nombre entier quelconque, pourvu qu’en même temps on élève à la puissance marquée parce nombre la quantité placée sous le radical.
D’après ce principe, si l’on a à multiplier deux radicaux tels que
m- n-
Va et vb, on les remplacera d’abord par mni—. mni-Va" bm ;
en appliquant alors la règle précédente, on trouvera pour le produit
m — n — rrtïi,
/ax V*= a’bm.
— Multiplication des arcs. On peut calculer successivement les lignes trigonométriques du double, du triple, etc., d’un angle en (onction des lignes trigonométriques de cet angle au moyen des formules qui donnent les lignes trigonométriques de la somme de deux angles a + b ; il suffit pour cela de faire successivement b égal à «, ta, 3a, etc., dans les formules qui donnent les lignes trigonométriques dé a + b.
Ces formules sont :
sin (a 4- b) = sin a cos b 4- cos 6 sin a,
cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin 4,
... tang a-f tang *
tang (a + b) = ! —.
b v ’ 1 — tang a tang b
Si l’on y fait 6 égal à a, il vient
sin 2a = 2 sin a cos a,
cos 20 = cos’ a— sin’ a,
12 tang a’
tang 2a = ~-.
0 1 — tang’ a
En faisant 6 égal à 2a, on obtient
sin 3a = 3 sin a —4 sin* a,
cos 3a = 4 cos* a —3 cos a,
et
tang a 4
tang 3a = 2 tang a — tantr* n
2 tan ; r a
1— tang a
1 — tang’ a
3 tang a— tang* a
1 — 3 tang1 a
On pourrait continuer ainsi tant que l’on voudrait ; on parvient très-aisément à des formules plus générales qui donnent sin ma, cos ma, tang ma, etc., en fonction des lignes trigonométriques de l’angle, au moyen de la formule de Moivre. V. Moivrb. Cette formule est
cos a -f v’ — 1 sin a)
= cos ma 4- </— 1 sin ma. En développant le premier membre par la formule du binôme, et identifiant les parties réelles et imaginaires des deux membres, on trouve
cos ma = cos
m(m — 1) m —2 •.
— cos"1 ’ sin1 a 4-....
et
1,2
sin ma = m cos
J7i(m— )(m — 2) m —3 ■, ,
" cos’ * a sm* a 4— m -1 " !("< m cos a sin a
1,2,3
En divisant ces deux formules membre à membre, on en tire tang ma :
—l)[>-2)
tang ma ■■
1,2,3
cobTO-3a sin’ a+.
m m(m — cos a i
1,2
^cosm-aasin> a+.
d’où, en divisant les deux termes de la fraction par cos ma,
m[m — l)(m — 2) î^3
m tang a-
tang* a 4-..,
tang ma ■■
m(m—1), 1 i itang1 a 4-...,
— Agric. Multiplication, en agriculture, 1 tîon. Il semble toutefois que ces derniers terest synonyme de propagation et da reproduc- (mes soient plus spécialement employés pour
