ARI.
n’ont pas de signe particulier, et sont représentés par la combinaison des quatre premiers nombres. Ainsi, dans ce système, on écrit 2+3 (5), 3+3 (G), 3+4 (7), 4 + 4 (8),3+3+3 (9). Chez certains peuples, les signes phonétiques de l’écriture ? ou les lettres, ont été employés comme signes numériques ; c’est le mode de notation des peuples sémitiques (Phéniciens, Hébreux). Ici, ce n’est pas l’écriture hiéroglyphique qui se conserve dans la numération ; ce sont les caractères de l’écriture alphabétique qui deviennent de véritables hié g
premiers nombres par les neuf nr lettres, les neuf termes de l’échelle dès dizaines par les neuf lettres suivantes, et les centaines d’abord par les quatre dernières lettres, et ensuite par cinq lettres déjà employées, mais qui subissaient quelques variations de forme. Pour exprimer les mille, les dizaines de mille et les centaines de mille, on reprenait toutes les mêmes lettres dans le même ordre, mais en les surmontant par des points. "
Les. Grecs ont également employé, comme signes numériques, les lettres de leur alphabet, et en cela ils ont copié les Hébreux ou plutôt les Phéniciens, dont l’écriture était semblable à celle des Hébreux. Ce qui constate bien l’imitation, c’est que dans quelques’ endroits où leur alphabet manquait de la lettre qui est dans l’alphabet hébreu, les Grecs, plutôt que de passer immédiatement au caractère suivant, ont préféré y intercaler quelque signe nouveau. Ainsi, n’ayant point de lettre correspondante au vaw, qui est la sixième des Hébreux, ils ont placé là une des formes de leur sigma, à laquelle ils ont donné le nom de digamma, comme ayant une valeur double du gamma, qui vaut trois ; par ce moyen, leur zêta valut sept, de même que le zain, qui lui correspond chez les Hébreux. Ils placèrent aussi après la lettre pt un signe ap~ " kappa, qui est le coph des Hébreux. , pour accomplir le nombre de vingt-sept lettres, nécessaire pour exprimer les unités, les dizaines et les centaines, ils durent encore ajouter après leur oméga un autre signe, qui était formé par la combinaison du sigma et du pi, et qu’ils appelaient sanpi. Après l’échelle des centaines, dont le dernier terme (neuf cents) était marqué par le tanpi, on formait l’échelle des mille avec les neuf premières lettres de l’alphabet, prises dans la même ordre que pour les neuf premiers nombres, mais distinguées par un trait placé au-dessous de la-lettre. Les Grecs avaient d’ailleurs très-bien remarqué le rapport qui existe entre a(1), i (10), P (100) et a’ (1000) ; comme entre p (2), x (20), o (200) et p’ (2000), et ils avaient des mots pour exprimer la relation de ces nombres. Les simples unités étaient appelées les fonds {puthmenes) des nombres de dizaines, de centaines, ’ de mille, et ces derniers s’appelaient les analogues de ceux auxquels ils correspondaient parmi les unités. Dans certains cas, orfopérait sur les fonds au lieu d’opérer sur les analogues, après quoi on ramenait le résultat du calcul a celui qu’on aurait trouvé en opérant sur les analogues eux-mêmes, suivant les règles ordinaires de l’arithmétique.’ Avec les quatre groupes de signes dont nous avons parlé,
«. h etc.,
la numération grecque n’allait que jusqu’à dix mille. Il fallait de nouveaux signes pour exprimer de plus grands nombres. On adapta la lettre M., initiale de murioi (dix mille), à la numération écrite. De là divers essais que nous rencontrons dans les écrits des mathématiciens. Eutocius, dans ses Commentaires sur Archimède, écrit le nombre des myriades au-dessus de la lettre M, par exema fi
pie, M (10000), M (20000), etc. Diophante et Pappus écrivent à la suite du nombre des myriades les initiales Mu, par exemple, iM« (10000), pMot (20000), etc., ou même ils remplacent Mu par un simple point. Même par ces moyens, on ne pouvait s’élever que jusqu’à dix mille fois dix mille, et il paraît bien, en effet, que telle était la limite de 'arithmé~ tique vulgaire chez les Grecs. Nous devons dire que cette étendue leur suffisait de reste pour les besoins ordinaires, parce que leurs unités de compte, telles que je talent, le stade, étaient plus fortes que nos unités ordinaires. Archimède donna a. la numération grecque une, extension qui permettait d’écrire tous les nombres sans être-arrêté par aucune limite. Il imagina de prendre la myriade carrée (100002) pour une unité nouvelle, une unité de second ordre, qui donne naissance à de nouveaux nombres, jusqu’à celui qui contient dix mille myriades de ces nouvelles unités (îoooo*). Comme tous les nombres inférieurs à dix mille myriades d’unités simples ou de premier ordre exigent au plus huit figures (quatre pour là partie inférieure à dix mille, et quatre pour le nombre des myriades), il s’ensuit que les nombres’formés avec les unités de second ordre pourront contenir aussi, mais au plus, huit figures. De là le nom à’octades donné par Archimède à ces périodes. Dans ce système, la myriade carrée est l’unité de second ordre, la myriade élevée à la quatrième puissance, l’u ARi :
ordre, etc. ; chaque octade est séparée des autres par une virgule ou un trait, et écrite à la gauche de celle qui contient les unités de l’ordre immédiatement inférieur.
Apollonius simplifia le système d’Archimède, en observant qu’on pouvait se borner en réalité à des’périodes de quatre figures, puisqu’aucun des nombres inférieurs à la myriade n’en exigeait davantage, et qu’en outre on était déjà habitué à marquer les myriades par les mêmes lettres que les unités simples, sauf quelque signe caractéristique, l’initiale M ou le point. Ainsi, pour Apollonius, les myriades étaient les unités de second ordre, les myriades carrées les unités de troisième ordre, les myriades élevées à la troisième puissance les unités de quatrième ordre. On voit que pour arriver à notre système moderne, il n’y avait que quelques pas’à faire, en suivant ces idées (VArchimède et d’Apollonius ; car toute la différence est que nos périodes à nous sont d’une seule figure, puisque ce n’est pas à la myriade carrée, ni même à la myriade, mais déjà à la dizaine que nous recommençons d’employer les mêmes caractères que pour les unités simples. « Il semble, dit Delambre, qu’après avoir réduit les octades d’Archimède en tranches qui n’avaient que quatre chiffres, Apollonius aurait dû essayer les tranches de trois chiffres, qui lui auraient permis de supprimer les lettres particulières et pointées pour les mille. Il aurait trouvé un avantage encore plus sensible en réduisant les tranches à deux chiffres, ! qui lui auraient épargné les lettres qui désignent les centaines ; enhn, en réduisant les tranches à un chiffre, il épargnait les lettres des dizaines, et arrivait.nécessairement à notre arithmétique. Il parait, au contraire, n’avoir réduit les tranches de huit chiffres que pour rentrer dans les limites de l’arithmétique des Grecs, et pour que chacune de ces tranches ne contint que les chiffres communément admis. » La numération écrite des Grecs avait un vice originel dont elle ne put se guérir, malgré l’effort de deux hommes de génie, c’était le nombre trop-considérable des signes de nombres, et ce vice tenait à l’origine même de ces signes, c’est-à-dire à l’idée qu’on avait eue d’adapter à la représentation des nombres les caractères inventés pour représenter les articulations et les sous, au lieu de créer des signes spéciaux dont le nombre et l’emploi fussent en rapport avec la nature des choses qu’il s’agissait d’exprimer, c’est-à-dire avec le système de la numération parlée.
Nous venons d’exposer deux systèmes de numération écrite, celui de la répétition des unités, employé à Rome et dans l’écriture hiéroglyphique des Égyptiens, et celui des lettres numérales, particulier aux peuples sémitiques, et dont la numération grecque offre le type le plus parfait. Un troisième système, qui est en usage en Chine, au Japon, chez les populations tamiles de l’Indoustan, etc., et qu’on peut appeler système des coefficients, consiste dans l’adoption de deux espèces de signes, lès uns pour les termes de la progression décuple, les autres pour les neuf premiers nombres servant de coefficients. Dans ce système, l’expression écrite d’un nombre est la somme d’une suite d’éléments composés de deux signes, dont l’un indique le terme de la progression décuple, et dont l’autre est le coefficient du précédent. C’est la traduction fidèle de la numération parlée : en effet, quand j’énonce le nombre trois mille deux cent soixante (soixante n’est pas autre chose que six dix), j exprime la somme des trois éléments trois mille, deux cents, soixante ; chacun de ces éléments est composé d’un coefficient et d’un terme de la progression décuple ; c’est comme si je disais : trois x mille + deux x cent + six x dix. Dans la numération tamile, le coefficient est placé à gauche du nombre qu’il doit multiplier : dans la numération chinoise, on le place au-dessus ou au-dessous- Supposons qu’on ait-le nombre 3 852 à écrire dans le système des coefficients, et qu’on adopte les chiffres arabes pour les coefficients, les chiffres romains pour les unités décuples, on aura 3M, 8C, 5X, il dans la numération tamile, et ^ „ ^ j dans la numération chinoise.
est celui de notre numération écrite. Il est évident que, dans l’exemple qui’précède, on peut, sans le moindre inconvénient, sous-entendre les signes M, C, X, I, et se contenter d’écrire les coefficients 3, 8, 5, 2, leur position respective suffisant pour indiquer le terme de la progression décuple que chacun d’eux multiplie. Ainsi le système des coefficients, traduction de la numération parlée, pouvait être heureusement simplifié. Au lieu de conserver deux espèces de signes, il suffisait d’accorder aux mêmes signes deux valeurs, valeur absolue, valeur de forme, valeur de coefficients d’une part, et de l’autre, valeur relative, valeur de position, valeur d’unités décuples. Ce fut dans l’Inde que prit naissance ce système de la double valeur des chiffres, qui portait la numération écrite à sa perfection ; c est dans la langue sanscrite que noua le voyons apparaître pour la première fois.
présente une questk
civilisés. Une tradition depuis longtemps... créditée en attribue l’introduction en Europe aux Arabes pendant le moyen âge ; de là le
ARL
nom de chiffres arabes qui leur est donné. On savait aussi depuis longtemps que les Arabes n’avaient point inventé leurs chiffres, mais qu’ils les avaient empruntes aux Indiens après la fondation du mahométisme. Ainsi nos chiffres nous seraient.venus de l’Inde par les Arabes. Ce qui semble prouver tout à la fois cette origine et cette voie de transmission, c’est, d’une part, la ressemblance de nos chiffres avec les chiffres actuellement employés par les Arabes, et d’autre part la ressemblance de ces derniers avec.les chiffres sanscrits connus sous le nom de dévanagaris ; c’est ensuite le nom arabe de zéro, .sifr (vide) ou sdlira sifr (espacévide), qui n’est que la traduction de son nom sanscrit sunya, et qui nous.donne l’étymologié de nos deux mots chiffre (sifr) et zéro (sabra). Cependant déjà, au iviie siècle Vossius admettait, contrairement à l’opinion générale, que nos chiffres sont d’origine grecque et pythagoricienne, M. Vincent et M. Chasles, le savant géomètre, . ont de nos jours repris l’examen de la question, et la résolvent, comme Vossius, dans un sens différent de celui que nous étions habitués à considérer comme le seul„qui fût donné par les faits ! Le nœud" du problème est l’existence de certains signes numériques nommés apices, que, l’on trouve dans les manuscrits du célèbre ouvrage de BoSce sur la géométrie, signes qui, au dire de l’écrivain, auraient été usités dans l’école de Pythagore. Si nos chiffres européens, surtout dans leurs anciennes formes, présentent une grande analogie avec les chiffres employés par les Arabes, ils ressemblent davantage encore à ces apices de Boece. Les travaux de M. Chasles ont d’ailleurs montré que l’arrangement de ces signes entre eux, ou ce qui constitue notre arithmétique de position, est parfaitement décrit dans l’ouvrage de BoSce. Ajoutons que d’autres témoignages viennent confirmer celui de Boece. Porphyre rapporte qu’au dire du pythagoricien Moueratus, Pythagore employait, dans ses calculs et dans ses spéculations sur les propriétés des nombres, des signes spéciaux, une numération écrite tout à fait différente de celle des Grecs. Devons-nous voir dans les apices ces signes pythagoriciens restés enfouis dans les secrets de l’école, ou simplement, comme le pensent MM. Jomard et Pihan ; des signes arabes que les copistes des manuscrits y auraient substitués ? Adhùc subjudice lis est.
Varithmétique, considérée comme ar£ de calculer, étant tout entière dans sa langue, nous avons dû nous étendre longuement sur l’histoire de la numération. Il nous reste à dire que l’arithmétique scientifique (comparaison et théorie des nombres) fut créée par le génie de Pythagore. à Avant Pythagore, dit M. Laugel, il n’est nulle part question de l’arithmétique comme science : le calcul demeure chose banale, bonne seulement pour les marchands ; après lui, la science des nombres envahit la
féconder la ssience des nombres en l’appliquant, en l’unissant à la géométrie. Pythagore et son école distinguaient les'nombres premiers, qu’ils nommaient linéaires, parce que n’ayant qu’un seul facteur, ils représentent géométriquement des longueurs ; les nombres-surfaces, c’est-à-dire formés par. le produit de deux facteurs ; les nombres corporels, c’est-à-dire à trois dimensions, à trois facteurs. Ils connaissaient les nombres dits quadratiques, les nombres triangulaires, les nombres pyramidaux, etc. C’est par l’analyse des propriétés des nombres que Pythagore fut conduit à son fameux théorème géométrique du carré de l’hypoténuse. Remarquant que la somme de 9, carré de 3, et de 16, carré de 4, est égale à 25 carré de 5, il chercha l’interprétation géométrique de cette propriété sur le triangle rectangle dont les trois côtés sont égaux à 3, à 4 et à 5. Envisageant ensuite, par un procédé. inverse, le théorème géométrique au point de vue arithmétique, il se trouva conduit aux racines des nombres qui ne sont point des carrés parfaits, c’est-à-dire aux quantités irrationnelles. -•
Après Pythagore et son école, l’histoire de l’arithmétique ne présente que deux faits importants : l’application de la numération décimale aux fractions, qui a donné à notre échelle arithmétique une partie qui lui manquait, et à " nos calculs l’uniformité nécessaire pour les comparaisons immédiates, et l’invention des logarithmes, qui, en permettant de substituer des opérations simples et faciles à des opérations compliquées et quelquefois impraticables par leur longueur, a produit une véritable révolution dans le travail du calcul. Le système des fractions avait été conçu dans l’origine dl’une façon tout indépendante du système même de la numération. Les fractions décimales ne furent imaginées que fort tard, suivant la plupart des auteurs, par l’astronome allemand Muller, plus connu sous le nom de Regiomontanus (xve siècle) ; suivant M. Cournot, par le géomètre Stévin (xvie siècle). D’après M. Biot, elles seraient dues, comme l’invention des logarithmes, à Néper (commencement du xvir= siècle).
Ariibmctiquo (Six LIVRES d’), Arithmeticarum rerum libri sex, ouvrage de Diophante, mathématicien grec de l’école d’Alexandrie. (350 de J.-C.). Cet ouvrage, auquel on fait généralement remonter l’origine de l’algèbre,
- était composé de treize livres, dont six seulement
nous sont parvenus. Xylander en a publié
ARI
637,
une traduction latine médiocre et incomplète en 1575 ; en 1621, Bachet de Méziriac en donna une édition plus correcte, avec des commentaires qui sont estimés. Plus tard, le célèbre Fermât y ajouta de savantes notes, que son fils publia dans une édition nouvelle en 1670. Les six livres qui nous restent de Diophanto traitent plutôt de ce que nous appelons aujourd’hui théorie des nombres que ce que nous appelons algèbre ; ils contiennent une collection de questions difficiles sur les nombres carrés et cubes, et 3ur plusieurs autres propriétés des nombres. Dans une sorte d’introduction adressée à un Dionysius, pour lequel l’ouvrage paraît avoir été écrit, Diophante donne la nomenclature et la génération des puissances ; il nomme les secondes puissances ou les carrés, dynamis ; les troisièmes puissances, cubus ; les quatrièmes puissances, dynamo-dynamis ; les cinquièmes, dynamocubus ; les sixièmes, cubo-cubus. Il exprimait une quantité inconnue par le mot arithmos (nombre), et la désignait dans la solution par la seule finale os. Dans ses recherches sur la multiplication, il observe que moins multiplié ’ par moins produit plus, et que moins multiplié par plus produit moins. Le mérite principal de l’ouvrage de Diophante consiste dans lhabileté avec laquelle il résout les problèmes indéterminés, cest-à-dire susceptibles d’une infimcliquo (Exe
ET DE L’), .
CALCUL, , „...
Dictionnaire des sciences mathématiques de Montferrier en donne un fragment curieux,
?ui nous apprend quelle idée les Arabes se
aisaient de la science des nombres. Voici ce fragment qui sert d’introduction à l’ouvrage : ■ Au nom de Dieu clément et miséricordieux. « Louange à Dieu qui a créé l’univers et tous les êtres, qui a réglé par poids et par mesures toutes ses créations. Il a créé à la fois et fait sortir du néant les nombres et les choses, le temps et l’espace, et les diverses influences des nombres qui modifient l’espace • et le temps. Il a doté l’homme, fils d’Adam, de la science des nombres, afin que*, par les nombres, il pût conquérir la puissance des choses, et qu’il dominât le temps et l’espace, ces deux abîmes sans limites, lui qui occupe sur cette petite terre un espace si borné, lui dont la temps d’apparition dans cette vie inférieure est resserré dans des limites si étroites, au ’ milieu de la mer immense des siècles se roulant les uns sur les autres. Et que la bénédiction du Dieu très-haut, du Dieu dont le nombre est un, soit sur le prophète chéri, sur Mahomet, dont la mission n’a eu lieu qu’au temps préfixé déterminé irrévocablement par les calculs sublimes de la Providence unique, et dont le nom a clos le nombre des prophètes élus de Dieu. Or donc, comprenant qu’à l’insu de l’homme il existe une puissance surnaturelle et indéfinissable dans les nombres, j’ai voulu composer cet opuscule. Que Dieu fasse miséricorde au pauvre auteur de ce petit livre, comme à ceux qui le lirov et en feront bon
On voit que les mathématiques, c’est-à-dire la science exacte et positive par excellence, ont eu leur mysticisme, comme l’astronomie et la chimie. Pour Avicenne, de même que pour Platon et les pythagoriciens, les nombres n’ont pas seulement une valeur objective comme rapports généraux des choses, comme conditions générales des phénomènes ; ils ont une existence propre et indépendante des choses ; ils sont créés, ils ont des propriétés merveilleuses, une puissance surnaturelle et indéfinissable.
! Après le préambule qu’on vient de lire,
Avicenne entre en matière : « Sache d’abordque tout nombre, quel qu’il soit, n’est autrechose que le nombre 9 ou son multiple plus un excédant ; car les nombres n’ont que 9 caractères, plus lo point (zéro), qui lui-même n’exprime aucun nombre. Si tu parviens à connaître cetexcôdant et le multiplicateur novénaire, le nombre entier te sera connu. Tout multipla novénaire, ajoute-t-il, si tu additionnes ensemble horizontalement les lignes qui le composent sans faire attention à leur valeur de • Eosition, te donnera nécessairement le nomre 9, soit seul, soit extrait du total par la même opération. Ainsi,
1S donne 1+8 = 9
27’.... 2 + 7 = 9
• 36....3+6 = 9
45.... 4 + 5 = 9, etc.
iToutes les fois qu’additionnant ainsi les signes d’un nombre quelconque, tu trouveras 9 pour résultat de ton opération horizontale, sois assuré que c’est un multiple de 9 ; sinon, après lavoir extrait ce nombre, il te restera un excé-!dant variable de 1 à 8. Tout nombre composé
- de signes dissemblables change nécessairement
de valeur si l’on change l’ordre des
! signes. Mais sache qu’entre le premier nombre
iet ceux qui résultent du changement de l’ordre
« 12 retourné fera.. 2ldiffér. 9
42 24.. 13= 2X9
85. 58.. 27 = 3 X 9
Î375.. 18 = 2X9
537.. 180 = 20 X 9
573.. 216 = U X 9
De ces faits, qui dépendent du système do
