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prenons de ces parties. Celui-ci est appelé numérateur, parce qu’il ««mère certaines par-ties de l’unité, qu’il exprime une collection, une quantité de ces parties ; celui-là est appelé dénominateur, parce qu’il spécifie de quelles parties il s agit, parce qu’il dénomme ces parties en exprimant le rapport de J’unité avec chacune d’elles. Si nous divisons l’unité en sept parties égales et si nous prenons trois de ces parties, nous avons une traction dont le dénominateur est sept et le numérateur trois. Pour écrire une fraction, on place le numérateur au-dessus du dénominateur, en séparant les deux termes par le signe de la division, c^est-à-dire par un trait horizontal, et on l’énonce en nommant d’abord le numérateur, puis le dénominateur, auquel on ajoute la désinence ième. Ainsi, la fraction que nous avons déjà prise pour exemple s’écrira 3/7 et s’énoncera trois septièmes. Il y a exception pour les fractions dont le dénominateur est deux, trois ou quatre : on dit alors demi, tiers, quart.
La numération des nombres entiers nous a offert des unités de différents ordres : unités
du troisième ordre ou centaines, etc. L’esprit fait un rapprochement tout naturel entre les unités d’ordre supérieur, dizaines, centaines, etc., et les fractions. Les unités du second ordre sont dix fois plus grandes que celles du premier, celles du troisième ordre cent fois plus grandes ; on peut dire que celles-ci ont cent et celles-là dix pour dénominateur, parce que dix pour les unes et cent pour les autres exprime le rapport de chacune d’elles avec l’unité de premier ordre. Les fractions peuvent être considérées comme des unités d’ordre inférieur : ainsi 3/7 présente à l’esprit l’idée de trois unités sept rois moins grandes que les unités de premier ordre. Voici maintenant les différences. Tout nombre peut être le dénominateur d’une fraction ; en d’autres termes, il peut y avoir autant d’espèces d’unités inférieures qu’il y a de nombres (demi, tiers, quart, cinquième, sixième, septième, huitième, etc.). La numération n’admet que certaines espèces d’unités supérieures qui sont de dix en dix fois plus grandes les unes que les autres, et dont les dénominateurs, formant une série régulière (dix, cent, mille, etc.), peuvent être sous-entendus, grâce a la double valeur que possède chaque chiffre, valeur de quantité d’une part, valeur ’ ordinale et qualitative de l’autre.
changer l’espèce d’unités inférieures expri mées par cette fraction ; que ces unités de. viennent plus grandes quand le dénominateur est diminué, plus petites quand le dénominateur est augmenté ; ou on multiplie une fraction en divisant son dénominateur, parce qu’ainsi les unités deviennent un certain nombre de fois plus grandes ; qu’on divise une fraction en multipliant son dénominateur, parce qu’ainsi les unités deviennent un certain nombre de fois plus petites ; qu’une fraction ne change pas de valeur lorsqu’on multiplie ou qu’on divise ses deux termes par le même nombre, parce que si, en multipliant ou en divisant le numérateur, -on rend le nombre des unités un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, en multipliant ou en divisant de la même façon le dénominateur, on rend les unités le même nombre de fois plus petites ou plus grandes ; que, par conséquent ; la même fraction peut s’exprimer d’une infinité de manières. ce qui permet, d’une part, de donner à une fraction l’expression la plus simple possible. ; d’autre part, de réduire tant de fractions que l’on veut, sans altérer leur valeur, au même dénominateur, c’est-à-dire à la même unité.
Quand une fraction a pour dénominateur dix ou une puissance de dix, elle prend le nom de fraction décimale : ainsi, 44/100 est une fraction décimale. Dans la numération des nombres entiers, la suite des unitésde différents ordres est une progression décuple, l, 10, 100, 1000, etc., et cette progression croissante a pour raison 10, c’est-à-dire est produite par la multiplication successive de chaque terme par 10. On aurait l’inverse de cette progrès„:„„ a—„ progression décroissante où
dans i
.„ ; cette progression
décroissante serait formée de fractions décimales : 1, 1/10, 1/100, 1/1000, etc. Il est clair que ces deux progressions n’en font en réalité qu’une seule, laquelle est croissante en allant d’un côté, décroissante en allant de l’autre : c’est la même progression décuple prolongée au-dessous de l’unité :
Ex. : 100,000, 10,000, 1,000, 100, 10, 1, 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000, 1/100000, etc.
Rien de plus simple maintenant que de faire rentrer les fractions décimales dans le système général de la numération écrite. Comme ces fractions expriment nécessairement des dixièmes, des centièmes, des" millièmes, c’est-à-dire des unités inférieures qui sont- do dix en dix fois moins grandes les unes que les autres, et dont les dénominateurs forment une série régulière, on peut sous-entendre ces dénominateurs et se contenter d’écrire les numérateurs, en étendant la convention en vertu de laquelle tout chiffre placé à la droite d’un autre représente des unités dix fois plus petites que les unités représentées par cet autre chiffre. En conséquence, on admet qu’un
Àfcl-
chiffre placé à la droite du chiffre des unités simples représente des dixièmes, qu’un chiffre placé à la droite des dixièmes représente des centièmes, et ainsi <ia suite. Seulement, pour éviter toute confusion, on place une virgule entre le chiffre des unités et celui des dixièmes. Ainsi, le nombre 605 unités, plus 5 dixièmes, plus 8 centièmes, plus 3 millièmes, au lieu de ’ s’écrire sous la forme ordinaire 695 4- 5/10 4- 8/100 + 3/1000, s’écrira plus simplement 695.583. En outre, des zéros doivent marquer laplace des unités absentes, absolument comme dans les nombres, entiers. Ainsi, la fraction, décimale 2 centièmes et 3 dix-millièmes s’écrirait, puisque les unités simples, les dixièmes et les millièmes, font défaut : 0,0203. Pour énoncer ce nombre 0,0203^il serait trop long de dire 2 centièmes et 3 dix-millièmes. Mais comme le centième vaut dix millièmes et cent dix-millièmes, on réduit dans l’énoncé tout en dix-millièmes, et l’on dit 203 dix-millièmes. De même, le nombre 695,583 s’énoncera 695 unités, 583 millièmes.
De la notion même des fractions décimales et de leur numération, il résulte que la valeur d’un nombre décimal ne change pas quand on écrit à sa droite un ou plusieurs zéros ; que le déplacement dé la virgule de 1,2,3, etc., rangs vers la gauche ou vers la droite rend un nombre décimal 10, 100, 1000 fois plus petit ou Elus grand ; qu’ainsi ce simple déplacement de virgule permet de multiplier ou de diviser un nombre par dix ou un multiple de dix ; que pour réduire au même dénominateur deux fractions décimales, il suffit de les réduire à un même nombre de chiffres, en ajoutant des zéros à la droite de celle qui en a le moins ; que la grandeur d’une fraction décimale dépend principalement du rang et de la grandeur de son premier chiffre significatif.
Une condition reste à remplir pour étendre le même système de notation arithmétique à toutes les fractions possibles, c’est de pouvoir convertir toutes les fractions en décimales, c’est-k-dire des tiers, des quarts, des cinquièmes, des sixièmes, etc., en dixièmes, centièmes, — millièmes, etc. Cette conversion ne peut pas toujours s’effectuer d’une manière complètement exacte, mais il est toujours facile d’obtenir une approximation aussi grande que le calcul l’exige.
— De la numération considérée d’une manière générale, ou des échelles arithmétiques. On a pu voir que toute notre arithmétique roule sur le nombre dix et sur ses puissances, c’est-à-dire sur ce même nombre dix multiplié par lui-même ; les autres nombres primitifs ne sont que les coefficients et les indices de ces puissances, en sorte que tout nombre est toujours un multiple ou une somme de multiples des puissances de dix. En effet, la progression géométrique 1, 10, 100, 1000,10000, etc., n’est que la suite des puissances de dix 10<>, 10’, lo8, 103, 10*, etc. ; un nombre quelconque, par exemple huit mille six cent quarante-deux, n est autre chose que SX 103 + 6x 10*4-4 x îol-f- 2 x 100, c’est-à-dire une suite de puissances de dix multipliées par différents coefficients. Dans notre numération écrite, la valeur des places de droite à gauche répond d’une manière exacte à cettesérie uniforme 10», 10», 102,103,10*, etc., ce qui a permis de se contenter des cbeflicients et de sous-entendre cette suite de 10 aussi bienque les signes 4-, qui, dans toute collection de choses déterminées et homogènes, peuvent être supprimés ; en un mot, d’écrire simplement 8 642. Cette progression géométrique 100, iol, ioï, îo», 10*, etc., par laquelle se règle la valeur relative des chiffres que nous employons, est ce qu’on appelle l’échelle de notre arithmétique ; dix est la racine ou base de cette échelle : de là son nom d’échelle décimale. Mais ce choix du nombre dix pour racine de notre échelle arithmétique est tout à fait arbitraire, et l’on aurait p^ tout aussi bien adopter une autre échelle pour former un svstème de numération capaole comme le notre de donner la construction de tous les nombres. Il est évidentque, comme on compta, jusqu’à neuf, après quoi on recommence en joignant le deuxième caractère au premier, et ensuite le second au second, puis le deuxième au troisième, etc., .on pourrait, au lieu d’aller jusqu’à neuf, n’aller que jusqu’à huit, et de là recommencer, ou jusqu’à sept, ou jusqu’à quatre, ou même n’aller qu’à deux ; par la même raison on pourrait aller au delà de dix avant de recommencer, comme jusqu’à onze, jusqu’à douze, jusqu’à soixante, jusqu’à cent. Tous les nombres peuvent s’écrire dans ces diverses échelles aussi bien que dans l’échelle décimale, et suivant les mêmes principes. La progression géométrique change ; elle peut avoir pour raison 2, 3 ; 4, 5, 6, 7, 8j 9, 11,12, etc., au lieu de 10 ; mais il y a toujours une progression géométrique ; en un mot, le principe de la valeur de position des chiffres est indépendant de l’échelle adoptée, et peut s’accommoder de toute autre. Autant d’échelles, autant ’ de systèmes de notation numérique différents. L’échelle décimale, qui a pour racine dix, où l’on emploie dix caractères différents, nous donne : 10Ô, loi, 102, 10», 10*, etc. L’échelle binaire, qui a, pour racine deux, où l’on n’emploie que donc : caractères différents, nous donnera : 20, Ci, 22, 2», 2*, etc. ; l’échelle quinaire (racine cinq) : 5<>, 5», 52, 5», 54, etc. ; l’échelle duodécimale (racine douze) : 120, «t, 122, 123, 12*, etc. Dans l’arithmétique décimale, les chiffres significatifs ont une valeur de dix en dix fois plus grande, selon qu’ils occupent des
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plaças plus reculées à la gauche du chiffre des unités ; dans l’arithmétique duodécimale, cette valeur sera de douze en douze fois plus grande, de cinq en cinq fois plus grande dans l’arithmétique quinaire, et seulement de deux en deux fois plus grande dans l’arithmétique binaire. Le même signe 10 se traduira différemment dans la numération parlée suivant le système de notation où il figure ; dans l’arithmétique décimale, il signifiera dix ; dans l’arithmétique duodécimale, douze ; dans l’arithmétique ■qui* naire, cinq ; dansiîarilhmetiqua binaire, deux. Le signe 100 signifiera, -dans l’arithmétique décimale, cent ; dans l’arithmétique duodécimale, cent quarante-quatre ; dans l’arithmétique quinaire, vingt-cinq ; dans l’arithmétique binaire, quatre.
L’échelle binaire est la plus simple ; elle permet d’exprimer tous les nombres avec les deux seuls caractères 0 et 1 ; le signe 1 représente, suivant la place qu’il occupe, et l’unité simple et.tous les groupes binaires 2’, -2*, 2&, 2*, etc. ; et le signe 0 marque la place des groupes absents, de sorte qu on a : ’
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635
un
15
16, etc.
L'arithmétique binaire offre cet avantage que les opérations les plu ? compliquées 11 y présentent aucune difficulté, parce qu’on n’opère jamais que sur l’unité, et que par conséquent les multiplications et les divisions peuvent s’effectuer aussi facilement que les additions et les soustractions. Mais cet avantage est annihilé par l’inconvénient du grand nombre de figures qu’il faut employer pour exprimer des nombres, même très t petits (mille, par exemple, exige déjà dix figures : 1111100100).
Ce défaut d’une expression trop longue, trop étendue, occupant trop déplace, existe dans toutes les échelles inférieures à l’échelle décimale. Pour exprimer -le nombre cent, il faut quatre caractères dans l’échelle quartenaire, 1210 ; cinq dans l’échelle trinaire, 10201. Plus les échelles s’élèvent, c’est-à-dire plus on y emploie de caractères différents, moins les nombres tiennent de place ; dans l’échelle centenaire, deux caractères (10) suffiraient pour exprimer le nombre cent ; trois caractères (100) pour exprimer le nombre dix mille. L’inconvénient des longues échelles, c’est l’effort que demande à la mémoire l’emploi d’un trop grand nombre de caractères, et la difficulté qui en résulté pour la pratique du calcul, pour les additions et les soustractions, surtout pour les multiplications et les divisions. D’ailleurs une échelle arithmétique pouvant être considérée comme une mesure, on comprend que cette mesure doive être proportionnée à notre propre grandeur, à nos mouvements, aux distances que nous pouvons parcourir. Vouloir se servir d’un grand nombre pour racine de notre échelle d’usage, ce serait vouloir mesurer à la lieue la longueur d’un appartement.
De toutes les échelles arithmétiques, quelle est la plus commode, quelle est celle qu’on aurait dû préférer ? C’est sans contredit l’échelle duodécimale ou duodénaire, en raison des avantages qu’elle offre pour la division. « Une arithmétique, dit Buffon dans son Essai d’arithmétique morale, dont l’échelle aurait eu le nombre douze pour racine, aurait été bien plus commode que notre arithmétique décimale ; les grands nombres auraient occupé moins de place, et en même temps les fractions auraient été plus rondes. Les nommes ont si bien senti cette vérité, qu’après avoir adopté l’arithmétique dénaire, ils ne laissent pas’que de se servir de l’échelle duodénaire ; on compte souvent ’par douzaines, par douzaines de douzaines ou grosses ; le pied est dans l’échelle duodénaire la troisième puissance de la ligne, le pouce la seconde puissance. L’année se divisé en douze mois, le jour en douze heures, le sou en douze deniers ; toutes les plus petites ou dernières mesures affectent le nombre douze, parce qu’on peut le diviser par deux, par trois, par quatre et par six ; au lieu que dix ne peut se diviser que par deux et par cinq, ce qui fait une différence essentielle dans la pratique pour la facilité des calculs et des mesures. Il ne faudrait dans cette échelle que deux caractères de plus, l’un’pour marquer dix, et l’autre pour marquer onze ; au moyen de quoi l’on aurait une arithmétique bien plus aisée à manier que notre arithmétique ordinaire... Il serait fort à souhaiter qu’on voulût substituer cette échelle à l’échelle dénaire... Do très-grands avantages résulteraient de ce changement ; le toisé, l’arpentage et tous les arts de mesure, où le pied, le pouce et la ligne sont employés, deviendraient bien plus faciles, car ces mesures se trouveraient dans l’ordre des puissances de douze, et, par conséquent, feraient partie nécessaire de l’échelle, et partie
qui sauterait aux yeux ; tous les arts et métiers où le tiers, le quart et le. demi-tiers se présentent souvent, trouveraient plus de facilité dans toutes leurs applications ; ce qu’on gagnerait en arithmétique se pourrait compter au centuple de profit pour les autres sciences et pour les arts... Mais à moins d’une refonte générale dans les sciences t il n’est guère permis d’espérer qu’.on change jamais notre arithmétique, parce que toutes les grandes. pièces de calcul, les tables des tangentes, des sinus, des logarithmes, etc., sont faites sur l’échelle dénaire, et que l’habitude à’arithmétique, comme l’habitude de toutes les choses qui sont d’un usage universel et nécessaire ; ne peut être réformée que par une loi qui abrogerait l’ancienne coutume et contraindrait les peuples à se servir d’une nouvelle méthodo. » Le grand obstacle au changement dont parle Buffon est dans le rapport qui lie la numération écrite à la numération parlée j il est impossible d’introduire l’échelle duodécimale dans la notation des nombres en conservant l’échelle décimale dans la nomenclature ; or, changer la nomenclature • des nombres, c’est créer, en quelque sorte, pour toute une catégorie d’idées, et d’idées usuelles, primitives, un langage nouveau et complètement indépendant de toute tradition. Buffon a très-bien vu que le système de la numération, ou la marche de là mesure numérique, et le système des mesures concrètes, géométriques, devaient être en harmonie l’un avec l’autre ; mais, s’il était théoriquement préférable dé rendre la numération conforme au système des mesures, il parut pratiquement plus simple de rendre le système des mesures conforme à la numération.
Examinons maintenant comment on transporte un nombre d’une échelle arithmétique dans une autre. Tout nombre, dans une échelle donnée, peut être exprimé par une suite :
axn+bxn-l+cxn~2+dxn~3+etc. ; 1 représente la racine de l’échelle arithmétique ; 11 la plus haute puissance de cette racine ; a, b, c, d sont les coefficients on les signes de la quotité. Par exemple, 173S dans l’échelle décimale, donnera
a :=10, n = 3, a=l,4 = 7, C = 3, <f=8 ; en sorte que
axn+bxn-i+cx'tt~2+dxn-.3
1X103 = 7X10Î+3X 10*4-8X100
10004-7004-304-8 = 1738.
L’expression de ce même nombre, dans une autre échelle arithmétique, sera
4-r (x±y)v-3+s {x±tj)v- etc. ; y représente la différence des racines des doux échelles ; elle est donc donnée aussi bien que x. On déterminera la valeur de v en divisant le logarithme du nombre proposé dxn+bxn-i +cxn-ii-dxa~3 par lé’logarithme de x±y. Pour déterminer les coefficients m, p, q, r, il n’y aura qu’à ’diviser le nombre proposé par (xpzy)", et faire m égal au quotient en nombres entiers ; ensuite diviser le reste par. <2±i/)s 1, et faire p égal au quotient en nombres entiers ; et de même diviser le reste par (x±y)v~, et faire q égal au1 quotient en nombres entiers, et ainsi de suite jusqu’au dernier terme. ’. ’. ’ ' 1, |
Par exemple, si l’on demande l’expression, dans l’échelle arithmétique.quinaire, du nombre 1733 dé l’échelle décimale
x=, y = -b, ax'tt'+bxn^i+cxn^-2 .. +dxn~3= 17.38, x=y-5 ;, .... log. 1738
log. 5
Je divise 1738 par 5* ou 625, le quotient en nombres entiers est 2 = m ; puis je divise le reste 48S par 53 ou 125,1e quotient en nombres entiers est 3=p ; ensuite, je, divise le reste 113 par 5* ou 25, ce qui donné au quotient 4 = q ; je divise de même le reste 13 par 51, le quotient est 2 = r ; enfin, une dernière division, celle du reste 3 par 5" ou 1 donne 3 = s.■ aussi le nombre 1738 de l’échelle décimale, traduit dans l’échelle quinaire, aura pour expression 23423.
Si l’on demande l’expression du même nombre 1738 de l’échelle décimale dans l’échelle duodécimale, on aura
a = 10, y=2, axn+bx"r-li : cxn-i +dxn~3=nss, x+y=lS ;
d’où
log. 1738
lOtnbres entiers.
log. 12
n nombres entiers.
Je.divise 1738 par 123 ou 1728, le quotient en nombres entiers est l**n ; ensuite, je divise le reste 10 par 122, le quotient est 0=p ; de même, je divise ce reste 10.par îgt, le quotient est encore 0 = 9 ; enfin, jo divise encore ce reste 10 par 120, 10 quotient est 10 = r ; le nombre 173S de l’échelle décimale sera donc 100K dans l’échelle duodécimale, en supposant que lo caractère K exurimo le nombre 10. Si l’on demande l’expression de ce nombre 1738’ dans l’échelle binaire, on aura y = ~8,
