de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie ; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de Α est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort, pourvu qu’après ce nouveau coup, le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie) ; alors, ou Α gagnerait ce coup, et dans ce cas, le nombre des points qui lui manquent, serait diminué d’une unité ; ou le joueur B le gagnerait, et dans ce cas, le nombre des points manquans à ce dernier joueur deviendrait moindre d’une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est ; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction, dans laquelle on diminue de l’unité le premier indice ; plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l’unité. Cette égalité est une de ces équations que l’on nomme équations aux différences partielles.
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