En désignant
par
et nommant
et
les coefficients de
et de
dans lesquels on change
en
on aura
(4)
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Cette équation est transcendante ; elle donne pour
, et par conséquent pour
une infinité de valeurs auxquelles correspondent autant de fonctions de la forme
et qui sont déterminées par l’état initial de la chaleur du globe.
L’équation précédente a pour une de ses racines
et la valeur correspondante de
est
étant une constante arbitraire.
Si l’on développe la partie de la fonction
de l’équation (2) qui est indépendante du temps, dans une suite de la forme
![{\displaystyle \mathrm {Y^{'(0)}+Y^{'(1)}+Y^{'(2)}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3af390d1bd11990ce5032f8cba5ade40769fd6)
étant assujetti à la même équation aux différences partielles que
l’équation (2) donnera, en comparant les fonctions semblables.
![{\displaystyle -i\beta a^{i-1}\mathrm {Y} ^{(i)}=f\beta a^{i}\mathrm {Y} ^{(i)}-f\mathrm {Y} ^{'(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6bbf2da58f700f1d604a9336e458719ae9170c)
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {Y} ^{(i)}=\mathrm {Y} ^{'(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368b578bfe09fea6d5dbe22df70959b35de75b4c)
![{\displaystyle \beta ={\frac {1}{a^{i}\left(1+{\cfrac {1}{af}}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a89ba66af93d4550279c0b618c1b427b0c2884)
ainsi la partie de la chaleur
d’un point du globe indépendante du temps et qui finit par être sa température finale est
![{\displaystyle \mathrm {Y} ^{'(0)}+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{af}}}}{\frac {r}{a}}\mathrm {Y} ^{'(1)}+{\frac {1}{1+{\cfrac {2}{af}}}}{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\mathrm {Y} ^{'(2)}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379650ca3225d19346df52073514ad3e06ca65b6)
On peut observer ici que cette partie de
varie très-lentement pour la Terre, près de la surface, à cause de la grandeur du rayon
Sa