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MÉCANIQUE CÉLESTE.
La série
devient donc
![{\displaystyle {\frac {{\frac {2}{\sqrt {i}}}(i-2r)^{i-1}\left({\frac {ec}{2}}\right)^{i}}{r^{r}(i-r)^{i-r}{\sqrt {2\pi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121224353fd155de8d4cbb31bc4c1e27e2436f0b)
ou
![{\displaystyle (d)\qquad \qquad \qquad {\frac {2}{i{\sqrt {i}}.(1-2\omega ){\sqrt {2\pi }}}}\left[{\frac {ec(1-2\omega )}{2\omega ^{\omega }(1-\omega )^{1-\omega }}}\right]^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f996b8c0d2532b5c7f0dae433eca550e67951c07)
étant donné par l’équation ![{\displaystyle (c).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30269e3baa3681c43190a687b8d7989ecd37e1a)
On doit observer ici que la valeur de
donnée par cette équation n’est pas rigoureuse. Nous avons négligé, pour former cette équation, les quantités de l’ordre
et, de plus, nous avons supposé que le terme maximum
était égal à celui qui le précède, ce qui n’est qu’approcha. De là il suit que la valeur exacte de
est celle que donne l’équation
plus une correction de l’ordre
que nous désignerons par
Mais cette correction disparaît d’elle-même par la condition de
maximum. En effet, si l’on nomme
la fonction
![{\displaystyle {\frac {ec(1-2\omega )}{2\omega ^{\omega }(1-\omega )^{1-\omega }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c558f6bff17a90bf83807e2ce383bff5d4f6411b)
et
cette même fonction lorsqu’on y change
dans
on aura
![{\displaystyle \log \mathrm {D} ^{'i}=i\log \left[\left(1+{\frac {q}{i}}{\frac {d\mathrm {D} }{\mathrm {D} d\omega }}+{\frac {q^{2}}{2i^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {D} }{\mathrm {D} d\omega ^{2}}}+\ldots \right)\mathrm {D} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1560889baae80754116a3a8f66772790b2e5d4b9)
En repassant des \logarithmes aux nombres et négligeant ensuite les quantités de l’ordre
on aura
![{\displaystyle \mathrm {D} ^{'i}=\mathrm {D} ^{i}c^{q{\frac {d\mathrm {D} }{\mathrm {D} d\omega }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65f54c7b3e69241f6d8314ad80eeed9bfb84030)
On a
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {D} }{\mathrm {D} d\omega }}=-{\frac {2}{1-2\omega }}+\log {\frac {1-\omega }{\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f306b8bf8254a619e3c2a285aab14783a769114)
et l’équation
donne
on a donc, aux quantités