Pour déterminer
, nous observerons que,
étant le coefficient de
dans le développement de
ou de
![{\displaystyle \left(1-\alpha c^{\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(1-\alpha c^{-\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3dac3e5163589624b562a445b61f3dba18f6369)
on a
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbd963aabc3920283b220cced3035f1c18a430c)
![{\displaystyle {\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{2.4.6\ldots 2i}}\alpha ^{i}\left[1+{\frac {2i+1}{2i+2}}{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}+{\frac {(2i+1)(2i+3)}{(2i+2)(2i+4)}}{\frac {1.3}{2.4}}\alpha ^{4}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df655692d45dec8e9d822a7118fa3dd5c9957575)
Considérons
comme fonction de
et de
et développons cette fonction suivant les puissances descendantes de
Le premier terme du facteur
![{\displaystyle 1+{\frac {2i+1}{2i+2}}{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}+{\frac {(2i+1)(2i+3)}{(2i+2)(2i+4)}}{\frac {1.3}{2.4}}\alpha ^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ba4bf0696c273f11b6279f3193fa80fae7f6c8)
est
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}+{\frac {1.3}{2.4}}\alpha ^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b9e0569b4197937339c427ef52432b69a70c5f)
ou
![{\displaystyle \left(1-\alpha ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192979f9ee6283fd0f699b468f6007d88edfea73)
Le premier terme du facteur
![{\displaystyle {\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{2.4.6\ldots 2i}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe91493438d6c92cc5c7a3d1b8d3fb23d20fbc8)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {1.2.3\ldots 2i}{2^{2i}(1.2.3\ldots i)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3d671fb670527974f19e307e8bcf302014dbc7)
développé suivant les puissances descendantes de
peut être ainsi déterminé. On a, par les théorèmes connus, pour le premier terme du produit
la quantité
![{\displaystyle (2i)^{2i+{\frac {1}{2}}}c^{-2i}{\sqrt {2\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf43387713d35801133e2b62e12395d0a09c28ad)
et, pour le premier terme du produit
le terme
![{\displaystyle i^{i+{\frac {1}{2}}}c^{-i}{\sqrt {2\pi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30f353f3287b70ca712ab553eb4ffe725f3a41f)
le facteur précédent devient ainsi
Le premier terme de la valeur de
réduite en série par rapport aux puissances descendantes de
est donc
![{\displaystyle {\frac {2\alpha ^{i}}{\sqrt {i\pi \left(1-\alpha ^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc310e6c37fdaabf6d9407adc887c7b701525cb)