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MÉCANIQUE CÉLESTE

résulte de la proximité de la Lune à la Terre relativement à sa distance au Soleil. De là il suit que la somme des aires tracées à chaque instant par le rayon vecteur de chaque molécule projetée sur l’écliptique autour de leur centre commun de gravité est constante. Soient donc $\mathrm {X,Y,Z}$ les coordonnées du centre de gravité de la Terre rapportées au centre de gravité du système et au plan de l’écliptique ; soient $x',y',z'$ celles d’une molécule $dm$ de la Terre, et $x,y,z$ celles du centre de la Lune, rapportées toutes au centre de gravité de la Terre. On aura

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\int &dm\left[(\mathrm {X} -x'){\frac {d\mathrm {Y} -dy'}{dt}}-(\mathrm {Y} -y'){\frac {d\mathrm {X} -dx'}{dt}}\right]\\\\&+\mathrm {L} \left[(x-\mathrm {X} ){\frac {dy-d\mathrm {Y} }{dt}}-(y-\mathrm {Y} ){\frac {dx-d\mathrm {X} }{dt}}\right]=\mathrm {const} .\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {L}$ étant la masse de la Lune. Mais on a, par la nature du centre de gravité,

$\int x'dm=0,\qquad \int y'dm=0,\qquad \int z'dm=0.$

Soit $\mathrm {T}$ la masse de la Terre ; on aura

$\mathrm {T} =\int dm.$

On a de plus, par la propriété du centre de gravité,

$\mathrm {L} (x-\mathrm {X} )=\mathrm {TX} ,$

ce qui donne

$\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {L} x}{\mathrm {T+L} }}.$

On aura pareillement

$\mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {L} y}{\mathrm {T+L} }}.$

L’équation (1) deviendra donc

$\int dm{\frac {x'dy'-y'dx'}{dt}}+\mathrm {\frac {TL}{T+L}} {\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {const} .$

La première des équations (C) du n^o 26 du Livre I donne

$(l)\quad \mathrm {A} q\sin \theta \sin \varphi +\mathrm {B} r\sin \theta \cos \varphi -\mathrm {C} p\cos \theta =-\int dm{\frac {x'dy'-y'dx'}{dt}},$