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temps. En égalant ces deux expressions de la masse de la couche et négligeant le carré de $\delta$, on aura

$d\left(r^{2}\delta \rho \right)+{\frac {\delta \rho }{\rho }}r^{2}dr=0.$

Pour avoir la valeur de $\delta \rho ,$ je supposerai que pour $1$ degré centigrade de diminution dans la température, pris pour unité de température, la densité $\rho$ de la couche augmente de $i\rho ,\ i$ étant une très-petite fraction, que je supposerai la même à toutes les températures et pour toutes les couches terrestres. En exprimant par $\delta \mathrm {V}$ la diminution de la chaleur de la couche après le temps $t$, on aura

$\delta \rho =i\rho \delta \mathrm {V} \,;$

on aura donc

$d\left(r^{2}\delta r\right)+i\delta \mathrm {V} r^{2}dr=0,$

et, en intégrant,

$r^{2}\delta r=-i\int \delta \mathrm {V} r^{2}dr.$

Maintenant, si l’on désigne par $\varphi$ la vitesse angulaire de rotation de la Terre à l’origine du temps, la somme des aires décrites par toutes ses molécules pendant une unité de temps sera proportionnelle à $\varphi \int \rho r^{4}dr\,;$ sa variation sera donc proportionnelle à la variation

$\delta \varphi \int \rho r^{4}dr+\varphi \int \rho r^{4}dr+4\varphi \int \rho r^{3}\delta rdr+\varphi \int \rho r^{4}d\delta r.$

En substituant pour $\delta r$ et $d\delta r$ leurs valeurs tirées des équations précédentes, cette variation devient

$\delta \varphi \int \rho r^{4}dr-2i\varphi \int \left(\rho rdr\int \delta \mathrm {V} r^{2}dr\right).$

En égalant à zéro cette fonction, en vertu du principe de l’égalité des aires, on aura

(5)

${\frac {\delta \varphi }{\varphi }}={\frac {2i\int \left(\rho rdr\int \delta \mathrm {V} r^{2}dr\right)}{\int \rho r^{4}dr}}.$

J’adopterai pour $\rho$ l’expression la plus simple d’une densité variable.