temps. En égalant ces deux expressions de la masse de la couche et négligeant le carré de
, on aura
![{\displaystyle d\left(r^{2}\delta \rho \right)+{\frac {\delta \rho }{\rho }}r^{2}dr=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86068135ee0298a79822a9718e28682ecdf9b0d)
Pour avoir la valeur de
je supposerai que pour
degré centigrade de diminution dans la température, pris pour unité de température, la densité
de la couche augmente de
étant une très-petite fraction, que je supposerai la même à toutes les températures et pour toutes les couches terrestres. En exprimant par
la diminution de la chaleur de la couche après le temps
, on aura
![{\displaystyle \delta \rho =i\rho \delta \mathrm {V} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2527f4832d744ec78e68804ae6f0154ebfecc7)
on aura donc
![{\displaystyle d\left(r^{2}\delta r\right)+i\delta \mathrm {V} r^{2}dr=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6157b9cd0f7fa619c65b8555fce9b8e79172e817)
et, en intégrant,
![{\displaystyle r^{2}\delta r=-i\int \delta \mathrm {V} r^{2}dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8510f4fd4f4ec12a9bbd7e05df56a6c50dbc654a)
Maintenant, si l’on désigne par
la vitesse angulaire de rotation de la Terre à l’origine du temps, la somme des aires décrites par toutes ses molécules pendant une unité de temps sera proportionnelle à
sa variation sera donc proportionnelle à la variation
![{\displaystyle \delta \varphi \int \rho r^{4}dr+\varphi \int \rho r^{4}dr+4\varphi \int \rho r^{3}\delta rdr+\varphi \int \rho r^{4}d\delta r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01311dd1cd819c82c2e7c76f3b46b5b34818c91b)
En substituant pour
et
leurs valeurs tirées des équations précédentes, cette variation devient
![{\displaystyle \delta \varphi \int \rho r^{4}dr-2i\varphi \int \left(\rho rdr\int \delta \mathrm {V} r^{2}dr\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c28cd86f126c0019606cedea553b00c7968ecd8)
En égalant à zéro cette fonction, en vertu du principe de l’égalité des aires, on aura
(5)
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J’adopterai pour
l’expression la plus simple d’une densité variable.