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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.
on aura une équation en
du quatrième degré. On aura de plus les valeurs de
au moyen de
sous cette forme
![{\displaystyle h'={\text{ϐ}}'h,\qquad h''={\text{ϐ}}''h,\qquad h'''={\text{ϐ}}'''h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fba74ed5255b4e5c1e7483a95a86a24c33eebef)
étant des fonctions de
et la constante
étant arbitraire.
Soient
les quatre racines de l’équation en
on aura, par la nature des équations linéaires,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}=&\quad \ h\ \ \cos(nt+\varepsilon -f\ t-\Gamma \ \ )+h_{1}\cos(nt+\varepsilon -f_{1}t-\Gamma _{1})\\&+h_{2}\cos(nt+\varepsilon -f_{2}t-\Gamma _{2})+h_{3}\cos(nt+\varepsilon -f_{3}t-\Gamma _{3}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11473fec1cb9f800f35fdbea8b4799003ad77d5)
étant des constantes arbitraires, et
désignant ici le nombre des années juliennes écoulées depuis l’époque où l’on fixe l’origine du temps.
Si l’on nomme
ce que deviennent
lorsqu’on y change successivement
dans
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}\ \ =\\&\quad \ {\text{ϐ}}'\ h\ \cos(n'\ \ t+\varepsilon '\ \ -f\,\ t-\Gamma \ \ )+{\text{ϐ}}'_{1}h_{1}\cos(n'\ \ t+\varepsilon '\ \ -f_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}'_{2}h_{2}\cos(n'\ \ t+\varepsilon '\ \ -f_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}'_{3}h_{3}\cos(n'\ \ t+\varepsilon '\ \ -f_{3}t-\Gamma _{3}),\\&{\frac {r''\delta r''}{a''^{2}}}\ =\\&\quad \ {\text{ϐ}}''\ h\ \cos(n''\ t+\varepsilon ''\ -f\ t-\Gamma \ \ )+{\text{ϐ}}''_{1}h_{1}\cos(n''\ t+\varepsilon ''\ -f_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}''_{2}h_{2}\cos(n''\ t+\varepsilon ''\ -f_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}''_{3}h_{3}\cos(n''\ t+\varepsilon ''\ -f_{3}t-\Gamma _{3}),\\&{\frac {r'''\delta r'''}{a'''^{2}}}=\\&\quad \ {\text{ϐ}}'''h\,\ \cos(n'''t+\varepsilon '''-f\,\ t-\Gamma \ \ )+{\text{ϐ}}'''_{1}h_{1}\cos(n'''t+\varepsilon '''-f_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}'''_{2}h_{2}\cos(n'''t+\varepsilon '''-f_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}'''_{3}h_{3}\cos(n'''t+\varepsilon '''-f_{3}t-\Gamma _{3}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9896a8959827c6a12022fde5c96454f3acba61e7)
Toutes ces expressions sont complètes, puisqu’elles renferment deux fois autant d’arbitraires qu’il y a d’équations différentielles du second ordre en ![{\displaystyle r\delta r,r'\delta 'r',r''\delta ''r'',r'''\delta '''r'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bc7603248d798c0210ef49fcefc1a2d37da14c)
La formule (2) de l’article II donne, en négligeant le carré des excentricités et leur produit par les forces perturbatrices,
![{\displaystyle \delta v=2{\frac {d{\cfrac {r\delta r}{a^{2}}}}{ndt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ea3c289b784ced2fc715a607d6a2be156f8e76)
d’où il suit que,
étant très petit relativement à
on aura l’expression