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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.
lorsque
et
seront connus. On a ensuite
![{\displaystyle {\frac {db_{s}^{(i)}}{d\alpha }}={\frac {i+(i+2s)\alpha ^{2}}{\alpha \left(1-\alpha ^{2}\right)}}b_{s}^{(i)}-{\frac {2(i-s+1)}{1-\alpha ^{2}}}b_{s}^{(i+1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b8593157cc8fbaef69c63ea1c48efd185fe23c)
Cette équation différenciée donnera les différences secondes de
Il ne s’agit donc que de déterminer
et ![{\displaystyle b_{s}^{(1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820df0df0e19230f1867e6d10a4782115fc1f29f)
Dans la théorie des satellites,
et l’on aura de cette manière les valeurs de
et de
On déterminera d’abord les quantités
et de
au moyen des suites
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}=&2\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {1.1}{2.4}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\left({\frac {1.1.3}{2.4.6}}\right)^{2}\alpha ^{6}+\left({\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\right)^{2}\alpha ^{8}+\ldots \right],\\b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}=&-2\alpha \left[{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\frac {1.1}{2.4}}\alpha ^{2}-{\frac {1.1}{2.4}}{\frac {1.1.3}{2.4.6}}\alpha ^{4}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}{\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\alpha ^{6}-\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e02f02370eb14a866c27095658d4027d065aa6)
Ces deux suites sont fort convergentes, et il suffit dans tous les cas d’en prendre les dix ou onze premiers termes. Lorsque l’on aura ainsi déterminé
et
on aura
et
au moyen des formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}=&{\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+6\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}},\\b_{\frac {1}{2}}^{(1)}=&{\frac {2\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+3\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfc7e6a02091af5c0dedfffae17393708fbf5bc)
Maintenant, on a généralement
![{\displaystyle a\mathrm {B} ^{(i)}=\alpha b_{\frac {1}{2}}^{(i)},\quad a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a}}=\alpha ^{2}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha }},\quad a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a^{2}}}=\alpha ^{3}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha ^{2}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dc0e510042d5b7c3bdc37faa0d0d66174138d9)
Quant aux différences partielles de
prises relativement à
on observera que
est une fonction homogène de
et de
de la dimension
or on a, par la nature de ce genre de fonctions,
![{\displaystyle a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a'}}=-\mathrm {B} ^{(i)}-a{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61401a6a7ffab8c8717059011f1516cfa2344d4)
d’où il est aisé de conclure les valeurs de
on