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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
sur la circonférence entière de l’anneau sera
![{\displaystyle \mathrm {S} r\int {\frac {d\varpi (z+r\cos \varpi )}{\left(r^{2}+2rz\cos \varpi +z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57eb9799055c4d7ca29af7e14d5c5e56bf6ae013)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
Nommons
cette attraction ; le centre de l’anneau sera donc mû comme si, toute sa masse étant réunie à ce point, il était sollicité par la force
dirigée vers le centre de Saturne.
On peut mettre l’expression de
sous la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {A} =-{\frac {\partial }{\partial z}}\int {\frac {\mathrm {S} d\varpi }{\left(r^{2}+2rz\cos \varpi +z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c6d4d210b10b30d923ba4337e758e3ca0fa907)
la différentielle étant prise relativement à
Si l’on introduit au lieu de
sa valeur en exponentielles imaginaires, et que l’on désigne par
le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\left(r^{2}+2rz\cos \varpi +z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{r\left(1+{\cfrac {z}{r}}c^{\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\cfrac {z}{r}}c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a472f0618e17876007ec7994180172f2255c6c05)
soit
![{\displaystyle {\frac {1}{\left(1+{\cfrac {z}{r}}c^{\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}=1+\alpha {\frac {z}{r}}c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+\alpha '{\frac {z^{2}}{r^{2}}}c^{2\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9db00e35538fe1c15f7e6b7e483c4131f2ccfe)
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\left(1+{\cfrac {z}{r}}c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}=1+\alpha {\frac {z}{r}}c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}+\alpha '{\frac {z^{2}}{r^{2}}}c^{-2\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7879a21883c5032bf6ea9c71cb678781032c49b)
Si l’on multiplie ces deux séries l’une par l’autre et que l’on intègre leur produit multiplié par
depuis
jusqu’à
on aura, en observant que
![{\displaystyle \int d\varpi c^{\pm i\varpi {\sqrt {-1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31dd7a6f5a3695c35b2c22dc5f369a3a16519f4)
lorsque
est un nombre entier,
![{\displaystyle \int {\frac {d\varpi }{\left(r^{2}+2rz\cos \varpi +z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {2\pi }{r}}\left(1+\alpha ^{2}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}+\alpha '^{2}{\frac {z^{4}}{r^{4}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614a8477c9964926522dbc3f161aeb1c0e9c2f5b)