257
SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.
jours, à très peu près, constante et ne participe point sensiblement aux variations de l’orbite du Soleil.
Considérons maintenant la variation de l’inclinaison de l’orbite de la Lune : reprenons pour cela la dernière des équations (A) de l’article I,
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8514553b538d91b39629c92c9b7ead777545ed03)
En substituant pour
sa valeur
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {S} }{r'}}+{\frac {\mathrm {S} }{2r'^{2}}}\left[r^{2}-{\frac {3(xx'+yy'+zz')^{2}}{r'^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800e9684218aba4ed54b60d3514e7383aaf4d1f1)
et en négligeant les cubes et les produits de trois dimensions de
et de
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {S} z}{r'^{3}}}-{\frac {3\mathrm {S} z'(xx'+yy')}{r'^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab56424c1efb63cbcc710d0c870d74b555254ac)
Soient
en substituant dans l’équation précédente ces valeurs,
au lieu de
et
au lieu de
elle deviendra
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {s}{a^{3}}}\left(1-{\frac {3\delta a}{a}}+{\frac {\mathrm {S} a^{3}}{a'^{3}}}\right)-{\frac {3\mathrm {S} }{a'^{3}}}s'\cos(v'-v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205b0e524f8073b9c8763d300719c4131d9bb57d)
On a, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\frac {\delta a}{a}}=-{\frac {n'^{2}}{6n^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac8286196140f38bc17d2a01ce962bbf81b16af)
de plus,
étant la latitude du Soleil au-dessus du plan fixe, on a
![{\displaystyle s'=\gamma '\sin(v'-\Pi ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1f876e098e4c7e08bca7dabc0cfd051ba57b2a)
On aura donc, en ne conservant que le terme dépendant de l’angle ![{\displaystyle nt+\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7464b1a793dfda270345ac4b90f6a3460f09400)
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+n^{2}s\left(1+{\frac {3n'^{2}}{2n^{2}}}\right)-{\frac {3\gamma '}{2}}n'^{2}\sin(nt+\varepsilon -\Pi ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6273916e6ccd1563f2939ff9caa59984515d3cc6)
En intégrant cette équation et en observant que les valeurs de
et de
sont insensibles, et qu’ainsi on peut les négliger lorsqu’elles ne