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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
comme l’on sait, à l’unité, il en résulte dans l’expression de la longitude le terme
Ce terme est très important à considérer, en ce qu’il exprimerait l’équation séculaire de la planète
si
renfermait un terme constant tel que
et, dans ce cas, l’équation séculaire serait exactement égale à
XXII.
On peut parvenir très simplement au même résultat par la considération de l’équation
de l’article IV ; en effet, si l’on néglige les quantités périodiques de l’intégrale
cette équation deviendra
![{\displaystyle 0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a}}+2m'knt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b174d01538e1e48e4fd39f7853e9a3ef9abe41ac)
mais, si l’on considère après le temps
l’orbite de
comme une ellipse dont le demi grand axe est
on aura, après ce temps,
![{\displaystyle 0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a+\delta a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d48c027d1571946efbea67f8554bdad70d04e4)
En comparant donc cette équation à la précédente, on aura
![{\displaystyle {\frac {1+m}{a+\delta a}}={\frac {1+m}{a}}+2m'knt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f1e0c8ef0f7d15a0de58abd0ab0735c0543a41)
d’où l’on tire, en négligeant
vis-à-vis de l’unité et le carré de ![{\displaystyle \delta a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014c4c5305e7cb8b61171b6c2fc9746da9d5facb)
![{\displaystyle {\frac {-\delta a}{a}}=2m'aknt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc5050b5b83949f559468013ed921322f91a6aa)
Maintenant, si l’on nomme
la variation de
correspondante à
l’équation
donnera
partant
![{\displaystyle \delta n=3m'akn^{2}t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46a39db0ee5058686d3e02ca837cfce4844f53f)
or le moyen mouvement de
étant égal à
l’équation séculaire de ce mouvement est
cette équation sera donc égale à
ce qui est conforme à ce qui précède.
La recherche des équations séculaires se réduit ainsi à voir si