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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
d’ailleurs,
étant fonction de
on a
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v'}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e904efb50d8f9ce815a867e5d42c1d9c422af289)
et si dans
on change
en
en
dans
et
dans
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}={\frac {1}{n-n'}}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb0db2749d807390a7276ba8e2202e25da5cb37)
On aura, cela posé,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R=S} &+a{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a}}\left[h\sin(nt+\varepsilon )+l\cos(nt+\varepsilon )\right]\\&-\left(\mathrm {S} +a{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a}}\right)\left[h'\sin(n't+\varepsilon ')+l'\cos(n't+\varepsilon ')\right]\\&+{\frac {1}{n-n'}}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}\left[h\cos(nt+\varepsilon )-l\sin(nt+\varepsilon )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \quad \left.-h'\cos(n't+\varepsilon ')+l'\sin(n't+\varepsilon ')\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f4695d56fc1787c96cec01b9ebf687729d6282)
IX.
Supposons maintenant, dans les équations (9) et (10) de l’article VII,
![{\displaystyle {\frac {\delta r}{a}}=u+u_{1},\qquad \delta v=\mathrm {V+V_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751e27052d2176bfcd5762f30fe495e81d8b383a)
et
étant les parties de
et de
indépendantes des excentricités des orbites, et
et
étant les parties de ces mêmes quantités qui en dépendent. Si, dans ces équations, on compare les termes indépendants des excentricités, on formera les deux suivantes, en observant que ![{\displaystyle n^{2}={\frac {1}{a^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f782ba0a862a4b6ebacb43d6408fd74f7bfba90)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u+2n^{2}g+{\frac {1}{2}}n^{2}a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}\\&+{\frac {n^{2}}{2}}\sum \left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2na\mathrm {A} ^{(i)}}{n-n'}}\right)\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdec7811ec6b22dd064e0bd5f43ee439e1b0b605)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =&3gnt+a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}nt+{\frac {2du}{ndt}}\\&-{\frac {n}{2(n-n')}}\sum \left({\frac {3n}{n-n'}}a\mathrm {A} ^{(i)}+2a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}\right){\frac {1}{i}}\sin i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fceede551bfa35b35e98f87966239d9125f5c56)