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LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ

par approximations successives, et M. Schwarzschild en a donné la solution rigoureuse.

Cette solution s’exprime de la manière suivante : si l’on utilise un système de référence lié au centre attirant avec un système de coordonnées sphériques $r$, $\theta$, $\varphi$ pour l’espace et une mesure optique $t$ du temps, si les coordonnées de deux événements infiniment voisins diffèrent de $\mathrm {d} r$, $\mathrm {d} \theta$, $\mathrm {d} \varphi$, $\mathrm {d} t$ pour ce système de référence, le champ de gravitation est tel que l’élément de temps propre $\mathrm {d} \tau$ ou le ${\frac {\mathrm {d} s}{V}}$ pour des observateurs en chute libre dans leur univers euclidien au voisinage immédiat de ces événements est donné par

(18)

$\mathrm {d} s^{2}=V^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}$

$=\left(V^{2}\!-{\frac {2GM}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{V^{2}r}}\right)^{-1}\!\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}-r^{2}\!\sin ^{2}\!\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}$

où $M$ représente la masse du corps attirant, du Soleil  par exemple.

24. Le mouvement des planètes. — Partant de là, on peut facilement trouver par la condition (8) le mouvement d’un point libre lancé dans ce champ de gravitation. Il suffit de chercher les géodésiques d’une multiplicité à quatre dimensions ayant l’élément d’arc donné en fonction des coordonnées par la formule (8). Le calcul est très simple et donne pour résultat un mouvement analogue à celui fourni par la loi de Newton mais un peu plus complexe. Au lieu d’une ellipse fixe (dans le cas où la trajectoire reste à distance finie), on trouve une ellipse qui tourne dans son plan autour du centre d’attraction avec une vitesse angulaire (mouvement du périhélie) donnée en fraction de tour par période par la formule