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D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

de plus on s’apercevra que les opérations que requiert cette méthode peuvent également se faire, soit que les différences soient finies, ou qu’elles soient infiniment petites.

7. Ayant donc l’équation à différences finies

$y+\mathrm {A} dy+\mathrm {B} d^{2}y+\mathrm {C} d^{3}y+\mathrm {D} d^{4}y+\mathrm {E} d^{5}y=\mathrm {X} ,$

et posant

$dy=p,\quad dp=q,\quad dq=r,\quad dr=s,$

on parviendra de la même manière à une équation telle que

$z-adz=\mathrm {X} ,$

où

$z=y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q+(\mathrm {C} +c)r+(\mathrm {D} +d)s,$

et la quantité $a$ dépendra de cette équation

$a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,$

dont les racines ont déjà été supposées $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}.$ Que l’on compare à présent l’équation

$z-adz=\mathrm {X}$

avec celle du n^o 2, savoir

$dy+\mathrm {M} y=\mathrm {N} ,$

et on aura

$\mathrm {M} =-{\frac {1}{a}},\quad \mathrm {N} =-{\frac {\mathrm {X} }{a}}\,;$

par conséquent

$1-\mathrm {M} ={\frac {1+a}{a}},$

ce qui donne enfin

$z=\varpi \left({\frac {1+a}{a}}\right)\left[{\text{const}}+\int {\frac {-{\cfrac {\mathrm {X} }{a}}}{\varpi \left({\cfrac {1+a}{a}}\right)}}\right],$