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SUR L’INTÉGRATION

Or, comme la quantité $a$ peut avoir trois valeurs différentes, nommons-les $a_{1},a_{2},a_{3},$ et exprimons par $\mathrm {Z} ,$ la valeur de $z$ qui contient $a_{1},$ par $\mathrm {Z} _{2}$ celui qui contient $a_{2},$ et par $\mathrm {Z} _{3}$ celui qui contient $a_{3}\,;$ on aura donc les trois équations suivantes :

${\begin{alignedat}{2}y+&(\mathrm {A} +a_{1})p&+(\mathrm {B} +b_{1})q=&\mathrm {Z} _{1},\\y+&(\mathrm {A} +a_{2})p&+(\mathrm {B} +b_{2})q=&\mathrm {Z} _{2},\\y+&(\mathrm {A} +a_{3})p&+(\mathrm {B} +b_{3})q=&\mathrm {Z} _{3}.\end{alignedat}}$

De ces trois équations on tirera la valeur de $y,$ laquelle, à cause des quantités constantes $\mathrm {A,B} ,a_{1},a_{2},\ldots ,$ se réduira à cette forme

$y=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}} ,$

où $\mathrm {F,G,H}$ sont des constantes dont la valeur dépend des autres $\mathrm {A,B} ,a_{1},a_{2},\ldots .$

6. Si l’on examine le procédé de cette méthode, il paraîtra clairement que si l’équation eût contenu beaucoup plus de termes, par exemple qu’elle eût été

$y+\mathrm {A} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\mathrm {C} {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}+\mathrm {E} {\frac {d^{5}y}{dx^{5}}}=\mathrm {X} ,$

on aurait trouvé de même

$y=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} ,$

où les quantités $\mathrm {Z_{1},Z_{2}} ,\ldots$ sont des fonctions de $\mathrm {X}$ et $x,$ telles que

$\mathrm {Z} =-e^{\frac {x}{a}}\int {\frac {\mathrm {X} dx}{ae^{\frac {x}{a}}}},$

en posant pour $a$ les racines $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ de cette équation

$a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0\,;$