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D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

${\frac {1}{\mathrm {R} ^{m+1}}}$ forment une progression géométrique, dont il sera aisé d’avoir la somme ; soit cette somme, qui commence par ${\frac {1}{\mathrm {R} }},$ égale à $\mathrm {S} ,$ savoir que

$\mathrm {{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {1}{R^{3}}}} +\ldots +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m}}}=\mathrm {S} ,$

et on aura, en multipliant par $\mathrm {R} ,$

$1+{\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m-1}}}=\mathrm {SR} =\mathrm {S} +1-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m}}}\,;$

de cette égalité l’on tirera

$\mathrm {S} ={\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} ^{m}(\mathrm {R} -1)}},$

par conséquent

$y_{m}=\mathrm {R} ^{m}\left[\mathrm {A} +\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} ^{m}(\mathrm {R} -1)}}\right],$

ou bien

$y_{m}=\mathrm {AR} ^{m}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} -1}}.$

4. Pour se convaincre que cette valeur de $y$ satisfait entièrement aux conditions de l’équation donnée

$y_{1}=\mathrm {R} y+\mathrm {T} \quad {\text{ou bien}}\quad y_{m+1}=\mathrm {R} y_{m}+\mathrm {T} .$

on n’a qu’à multiplier la formule trouvée pour $y_{m}$ par $\mathrm {R} ,$ et lui ajouter la quantité $\mathrm {T} ,$ et l’on trouvera le résultat

$\mathrm {AR} ^{m+1}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m+1}-\mathrm {R} }{\mathrm {R} -1}}+\mathrm {T}$

qui se réduit à

$\mathrm {AR} ^{m+1}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m+1}-1}{\mathrm {R} -1}},$

qui est la valeur que la formule générale nous donne pour le terme $y_{m+1}.$