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D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

pour résoudre cette équation dans notre cas où la différentielle $du$ n’est pas infiniment petite, qu’on suppose $u=e^{t},$ et l’on aura

$u+du=e^{t+dt}\quad {\text{et}}\quad du=e^{t}\left(e^{dt}-1\right)\,;$

d’où

${\frac {du}{u}}=e^{dt}-1=-\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad e^{dt}=1-\mathrm {M} \,;$

et prenant les logarithmes,

$dt=l(1-\mathrm {M} ),$

et ensuite intégrant,

$t=\int l(1-\mathrm {M} )\,;$

mais on sait que la somme des logarithmes de plusieurs nombres est égale au logarithme du produit de tous ces nombres ; donc, si l’on exprime généralement par $\varpi (1-\mathrm {M} )$ le produit continuel de toutes les quantités contenues dans la formule $1-\mathrm {M} ,$ on aura

$t=l\varpi (1-\mathrm {M} ),$

et par conséquent

$u=e^{t}=\varpi (1-\mathrm {M} ).$

Par l’évanouissement de ces deux termes l’équation devient

$udz+dudz=\mathrm {N} ,$

d’où l’on tire

$dz={\frac {\mathrm {N} }{u+du}},$

et, en intégrant,

$z=\int {\frac {\mathrm {N} }{u+du}}.$

Mais ayant déjà trouvé $u=\varpi (1-\mathrm {M} ),$ si l’on exprime par $\mathrm {M} _{1}$ le terme consécutif à $\mathrm {M} ,$ on aura

$u+du=\varpi (1-\mathrm {M} _{1}),$