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SUR L’INTÉGRATION
D’UNE
ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
À DIFFÉRENCES FINIES,
QUI CONTIENT LA THÉORIE DES SUITES RÉCURRENTES.

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(Miscellanea Taurinensia, t. I, 1759.)

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1. Soit proposée l’équation différentielle

$dy+y\mathrm {X} dx=\mathrm {Z} dx,$

où $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Z}$ expriment des fonctions quelconques de la variable $x\,;$ l’on sait que pour intégrer cette équation il suffit de faire

$y=uz,$

ce qui donne

$udz+zdu+uz\mathrm {X} dx=\mathrm {Z} dx,$

où l’on peut faire évanouir deux termes par une valeur convenable de $u$ ou de $z.$ Supposons donc

$zdu+uz\mathrm {X} dx=0,$

et divisant par $z,$ on aura

$du+u\mathrm {X} dx=0,$

et par conséquent

${\frac {du}{u}}=-\mathrm {X} dx\quad {\text{et}}\quad lu=-\int \mathrm {X} dx,$

savoir

$u=e^{-\int \mathrm {X} dx},$