16. Soit l’équation générale pour les surfaces de second ordre
qu’on se propose de trouver le point où l’ordonnée est la plus grande ou la plus petite ; on aura, en différentiant,
ce qui fournit d’abord les deux équations suivantes
d’où l’on tire
Différentions de nouveau la différentielle trouvée, et on aura, puisque ,
où les quantités , ne se trouvent plus. Or, afin que l’ordonnée soit un vrai maximum ou minimum, il faut que et soient toutes deux négatives dans le premier cas, et toutes deux positives dans le second ; de plus, il faut encore que , car sans cela les valeurs trouvées pour les ordonnées et ne donneraient jamais ni un maximum, ni un minimum ; en effet, toutes les fois que n’est pas plus grand que , le célèbre M. Euler a démontré par une autre voie, dans l’Appendice à l’Introduction à l’Analyse des infiniment petits, que la surface proposée s’étend à l’infini et qu’elle a une asymptote conique. Il paraît donc clairement que la méthode pour déterminer les maximum et minimum.
