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$\mathrm {A,B,C}$ exprimeront des nombres positifs, et l’on aura

$\mathrm {A} +2\mathrm {B} z-\mathrm {C} z^{2}=1.$

Soit, en général, $\mathrm {A} +2\mathrm {B} z-\mathrm {C} z^{2}=u,$ en sorte que

$x^{2}-ay^{2}=u\,;$

en regardant $z$ comme une quantité variable qui commence par zéro, et qui augmente à l’infini, on aura d’abord, lorsque $z=0,$ $u=\mathrm {A} \,;$ ensuite $u$ augmentera jusqu’à ce que $\mathrm {B=C} z\,;$ après quoi $u$ diminuera continuellement jusqu’à devenir infini négatif. Donc, si l’on donne à $z$ une valeur quelconque $\mathrm {Z} ,$ telle que la valeur correspondante de $u$ soit positive et égale à $\mathrm {U} ,$ il est clair que toutes les autres valeurs de $z,$ comprises entre $0$ et $\mathrm {Z} ,$ donneront pour $u$ des valeurs positives et plus grandes que la plus petite des deux quantités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {U} ,$ qui répondent à $z=0$ et à $z=\mathrm {Z} .$

Or nous avons trouvé

$x=\mathrm {M} '-m'z\quad {\text{et}}\quad y=\mathrm {N} '-n'z\,;$

donc : 1^o comme $y<\mathrm {N} ',$ on aura $z>0\,;$ 2^o on a, par le n^o 1,

$\mathrm {M} '=q'''m'+\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {N} '=q'''n'+\mathrm {N} ,$

donc

$x=(q'''-z)m'+\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad y=(q'''-z)+\mathrm {N} \,;$

donc, puisque $y>\mathrm {N} ,$ il faudra que $z<q'''\,;$ ainsi les limites de $s$ seront $0$ et $q''',$ c’est-à-dire que $z$ sera comprise entre $0$ et $q'''\,;$ mais, en faisant $z=0,$ on a

$u=\mathrm {A} =\mathrm {M} '^{2}-a\mathrm {N} '^{2}\,;$

et, en faisant $z'=q''',$ on a $x=\mathrm {M} ,\ y=\mathrm {N} ,$ et par conséquent

$u=x^{2}-ay^{2}=\mathrm {M} ^{2}-a\mathrm {N} ^{2}\,;$

donc, en donnant à $z$ des valeurs intermédiaires, les valeurs correspondantes de $u,$ savoir de $x^{2}-ay^{2},$ seront toutes plus grandes que la plus petite de ces deux quantités $\mathrm {M} ^{2}-a\mathrm {N} ^{2}$ et $\mathrm {M} '^{2}-a\mathrm {N} '^{2}\,;$ mais l’une et l’autre