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nombre entier négatif (n^o 2), et par conséquent $an'^{2}-m'^{2}$ un nombre entier positif. Donc il faudra nécessairement que l’on ait

$xn'-ym'=1.$

On aura donc $xn'-ym'=1,$ et comme on a aussi (n^o 1) $\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=1,$ on aura

$(\mathrm {M} '-x)n'-(\mathrm {N} '-y)m'=0,$

savoir

${\frac {\mathrm {M} '-x}{\mathrm {N} '-y}}={\frac {m'}{n'}}\,;$

donc, prenant un nombre quelconque entier $z,$ on aura

$\mathrm {M} '-x=m'z,\qquad \mathrm {N} '-y=n'z,$

et de là

$x=\mathrm {M} '-m'z\quad {\text{et}}\quad y=\mathrm {N} '-n'z\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation $x^{2}-ay^{2}=1,$ on aura

$M'^{2}-aN'^{2}-2(M'm'-aN'n')z+\left(m'^{2}-an'^{2}\right)z^{2}=1\,;$

or $\mathrm {M} '^{2}-a\mathrm {N} '^{2}$ est un nombre positif, $m'^{2}-an'^{2}$ est un nombre négatif (n^o 2), et je dis que $\mathrm {M} 'm'-a\mathrm {N} 'n'$ est un nombre négatif ; en effet, comme $\mathrm {\frac {M'}{N'}} >{\sqrt {a}}$ et ${\frac {m'}{n'}}<{\sqrt {a}},$ on aura

$\mathrm {\frac {M'}{N'}} ={\sqrt {a}}+\Gamma \quad {\text{et}}\quad {\frac {m'}{n'}}={\sqrt {a}}-\gamma ,$

et $\gamma$ sera $>\Gamma ,$ à cause que $\mathrm {\frac {M'}{N'}}$ doit approcher plus de ${\sqrt {a}}$ que ${\frac {m'}{n'}}$ (n^o 1) ; donc

$\mathrm {M} 'm'-a\mathrm {N} 'n'=\mathrm {N} 'n'\left({\frac {\mathrm {M} 'm'}{\mathrm {N} 'n'}}-a\right)=-\mathrm {N} 'n'\left[(\gamma -\Gamma ){\sqrt {a}}+\Gamma \gamma \right].$

Donc, si l’on fait

$\mathrm {M} '^{2}-a\mathrm {N} '^{2}=\mathrm {A} ,\quad \mathrm {M} 'm'-a\mathrm {N} 'n'=-\mathrm {B} ,\quad m'^{2}-an'^{2}=-\mathrm {C} ,$