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or

${\frac {x}{y}}-{\frac {m'}{n'}}={\frac {xn'-ym'}{yn'}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {M'}{N'}} -{\frac {m'}{n'}}={\frac {1}{\mathrm {N} 'n'}},$

donc, à cause de $y<\mathrm {N} ',$ on aura

${\frac {x}{y}}-{\frac {m'}{n'}}>(xn'-ym')\left(\mathrm {\frac {M'}{N'}} -{\frac {m'}{n'}}\right)\,;$

or je dis que $xn'-ym'$ doit nécessairement être égal à $1\,;$ en effet, puisque ${\frac {x}{y}}-{\frac {m'}{n'}}>0,$ on aura d’abord

$xn'-ym'>0\,;$

donc

$xn'-ym'=1,\quad {\text{ou}}\quad =2,\quad {\text{ou}}\quad >2\,;$

mais si $xn'-ym'=$ ou $>2,$ on aura pour lors

${\frac {x}{y}}-{\frac {m'}{n'}}>2\left(\mathrm {\frac {M'}{N'}} -{\frac {m'}{n'}}\right)\,;$

et comme ${\sqrt {a}}$ se trouve entre $\mathrm {\frac {M'}{N'}}$ et ${\frac {m'}{n'}}$ (n^o 1), elle se trouvera aussi nécessairement entre ${\frac {x}{y}}$ et ${\frac {m'}{n'}},$ mais beaucoup plus près de ${\frac {m'}{n'}}$ que de ${\frac {x}{y}},$ parce que ${\frac {x}{y}}-\mathrm {\frac {M'}{N'}} >\mathrm {\frac {M'}{N'}} -{\frac {m'}{n'}}\,;$ donc $a$ se trouvera aussi entre ${\frac {x^{2}}{y^{2}}}$ et ${\frac {m'^{2}}{n'^{2}}}$ mais plus près de ${\frac {m'^{2}}{n'^{2}}}$ que de ${\frac {x^{2}}{y^{2}}}\,;$ donc on aura

${\frac {x^{2}}{y^{2}}}-a>a-{\frac {m'^{2}}{n'^{2}}},$

savoir, à cause de $x^{2}-ay^{2}=1,$

${\frac {1}{y^{2}}}>{\frac {an'^{2}-m'^{2}}{n'^{2}}},\quad {\text{ou bien}}\quad an'^{2}-m'^{2}<{\frac {n'^{2}}{y^{2}}}\,;$

mais $y>n',$ donc ${\frac {n'^{2}}{y^{2}}}<1\,;$ et à plus forte raison $an'^{2}-m'^{2}<1\,;$ ce qui ne peut être, à cause que $m'^{2}-an'^{2}$ est toujours nécessairement un