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RECHERCHES SUR LA MÉTHODE

troisième $u$ égale à ${\frac {2.2act}{(a+t)(t+u)}}$ et ainsi de suite ; donc la vitesse que recevra le dernier $b$ sera exprimée par

${\frac {2\ldots 2catuxy\ldots b}{(a+t)(t+u)(u+x)(x+y)\ldots }},$

expression qui doit devenir un maximum. Pour en trouver plus aisément la différentielle, qu’on la suppose égale à $\mathrm {Z}$, et prenant les logarithmes d’une part et de l’autre, on trouvera

$l2\ldots 2ca+lt+lu+lx+ly+\ldots$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	$=l\mathrm {Z} .$
$\qquad -l(a+t)-l(t+u)-l(u+x)-l(x+y)-\ldots$

ce qui donne par la différentiation

${\frac {dt}{t}}+{\frac {du}{u}}+{\frac {dx}{x}}+{\frac {dy}{y}}+\ldots$

$+\ldots -{\frac {dt}{a+t}}-{\frac {dt+du}{t+u}}-{\frac {du+dx}{u+x}}-{\frac {dx+dy}{x+y}}-\ldots ={\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} }}\ ;$

d’où, en mettant ensemble et réduisant au même dénominateur les termes affectés des mêmes différentielles, l’on tire

$d\mathrm {Z} ={\frac {\mathrm {Z} (au-t^{2})dt}{t(a+t)(t+u)}}+{\frac {\mathrm {Z} (tx-u^{2})du}{u(t+u)(u+x)}}+{\frac {\mathrm {Z} (uy-x^{2})dx}{x(u+x)(x+y)}}+\ldots$

On aura donc en premier lieu pour le maximum ou minimum les équations suivantes

$au=t^{2},\quad tx=u^{2},\quad uy=x^{2},\ldots ,$

qui donnent les analogies

$a:t=t:u,\quad t:u=u:x,\quad u:x=x:y,\ldots .,$

savoir

${\overset {.\ .}{\overline {..}}}\ a:t:u:x:y\ldots b\ ;$

d’où l’on voit que toutes les masses doivent constituer une progression