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Soit : 2^o $m$ pair, et l’on aura

${\begin{aligned}x''\ &=-\left(1-2p^{2}\right),\\x^{\mathrm {iv} }&=1-8p^{2}+8p^{4},\\x^{\mathrm {vi} }&=-\left(1-18p^{2}+48p^{4}-32p^{6}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$x=\pm \left[1-{\frac {m^{2}}{2}}p^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}p^{4}-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right].$

Ensuite

${\begin{aligned}y''\ &=2pq,\\y^{\mathrm {iv} }&=-q\left(4p-8p^{3}\right),\\y^{\mathrm {vi} }&=q\left(6p+32p^{3}+32p^{5}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$y=\mp q\left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right].$

À l’égard de l’ambiguïté des signes, on prendra le signe supérieur lorsque $m$ est un multiple de $4,$ et l’inférieur lorsque $m$ est un multiple de $4$ plus $2.$

De plus, puisque $p^{2}-aq^{2}=1,$ on pourra substituer dans les formules précédentes $1+aq^{2}$ au lieu de $p^{2},$ et l’on aura celles-ci :

1^o Pour le cas de $m$ impair,

${\begin{aligned}x'\ \ &=p,\\x'''&=p\left(1+4aq^{2}\right),\\x^{\mathrm {v} }\ &=p\left(1+12aq^{2}+16a^{2}q^{4}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$x=p\left[1+{\frac {m^{2}-1}{2}}aq^{2}+{\frac {(m^{2}-1)(m^{2}-9)}{2.3.4}}a^{2}q^{4}\right.$

$\left.+{\frac {(m^{2}-1)(m^{2}-9)(m^{2}-25)}{2.3.4.5.6}}a^{3}q^{6}+\ldots \right].$