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donc on aura aussi

$pp'\pm aqq'=r\mathrm {A^{2}B^{2}} ,$

et, divisant toute l’équation par $A^{4}B^{4},$ on aura

$1=r^{2}-as^{2}.$

À l’égard du second cas, il est clair que si les deux quantités $pq'-qp',$$pq'-qp'$ étaient divisibles en même temps par $\mathrm {A}$ ou par $\mathrm {B} ,$ il faudrait que leur somme $2pq'$ le fût aussi, ce qui ne peut être (à cause que $p$ et $q'$ sont premiers à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$), à moins que l’on n’ait $\mathrm {A} =2$ ou $\mathrm {B} =2\,;$ mais alors $q$ et $q'$ seraient nécessairement impairs, ce qui donnerait $q'^{2}-q^{2}=8m\,:$ de sorte que l’équation (H) deviendrait (en supposant $\mathrm {B} =2$)

$32m\mathrm {A} ^{2}=(pq'+qp')(pq'-qp')\,;$

donc, puisque l’une des deux quantités $pq'+qp',\ pq'-qp'$ est supposée divisible seulement par $\mathrm {B} ,$ il faudra que l’autre le soit par $16\mathrm {A} ^{2},$ et par conséquent aussi par $\mathrm {A^{2}B^{2}} ,$ ce qui se réduit au premier cas.

Le troisième cas ne peut point avoir lieu du tout, à cause que la somme des quantités $pq'+qp',\ pq'-qp'$ n’étant point divisible par $\mathrm {AB} ,$ il est impossible que chacune de ces quantités le soit.

Reste le quatrième cas, dans lequel on aura $pq'\pm qp'=s\mathrm {B} ^{2},$ $s$ n’étant point divisible par $\mathrm {A} \,;$ on aura donc, dans ce cas, au lieu de l’équation (G), celle-ci :

$\mathrm {A^{4}B^{4}} =(pp'\pm aqq')^{2}-as^{2}\mathrm {B} ^{4}\,;$

par conséquent, on aura aussi

$pp'\pm aqq'=r\mathrm {B} ^{2}\,;$

et, divisant toute l’équation par $\mathrm {B} ^{4},$ on aura

$\mathrm {A} ^{4}=r^{2}-as^{2},$

et comme $s$ et $a$ ne sont point divisibles par $\mathrm {A} ,$ $r$ ne le sera pas non plus, de sorte que $r$ et $s$ seront premiers à $\mathrm {A} .$

Ayant l’équation $\mathrm {A} ^{4}=r^{2}-as^{2},$ il faudra encore en avoir une autre