Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/741

faisant

$xx'\pm ayy'=p\mathrm {BC} ,$

et divisant toute l’équation par $\mathrm {B^{2}C^{2}} ,$ on aura

$\mathrm {A} ^{2}=p^{2}-aq^{2}.$

Si l’on combine de même l’équation $\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2}$ avec l’équation $\mathrm {R} =x''^{2}-ay''^{2}$ (n^o 4), et que ni l’une ni l’autre des quantités $xy''+yx'',$$xy''-yx''$ ne soit divisible par $\mathrm {R} ,$ on parviendra, par la même méthode, à une équation de cette forme :

$k^{2}=p^{2}-aq'^{2},$

$k$ étant l’un des facteurs de $\mathrm {R} .$ Donc, si $k=\mathrm {A} ,$ on aura deux équations qu’on traitera comme on a fait ci-dessus pour les équations (C) et (D). Si $k=\mathrm {B} ,$ on combinera les équations $\mathrm {R} =x'^{2}-ay'^{2}$ et $\mathrm {R} =x''^{2}-ay''^{2},$ et si cette combinaison ne donne pas le cas du n^o 6, elle donnera nécessairement une équation de cette forme :

$k'^{2}=p''^{2}-aq''^{2},$

$k'$ étant l’un des trois facteurs de $\mathrm {R} .$

Donc, si $k'=\mathrm {A}$ ou $k'=\mathrm {B} ,$ on aura deux équations analogues aux équations (C) et (D) ; mais, si $k'=\mathrm {C} ,$ il faudra prendre une quatrième équation telle que $\mathrm {R} =x'''^{2}-ay'''^{2},$ et la combiner avec quelqu’une des précédentes pour avoir ou le cas du n^o 6, ou au moins une nouvelle équation de cette forme :

$k''^{2}=p'''^{2}-aq'''^{2},$

$k''$ étant égal à $\mathrm {A}$ ou à $\mathrm {B}$ ou à $\mathrm {C} \,;$ ainsi, quel que soit $k'',$ on aura nécessairement deux équations analogues aux équations (C) et (D), par lesquelles on pourra résoudre le problème (n^o 7).

En général il est évident, par tout ce que nous avons démontré jusqu’ici, qu’en multipliant ensemble deux quelconques des équations du n^o 4, on aura nécessairement ou une équation de cette forme : $1=p^{2}-aq^{2}$ comme dans le n^o 6, ou au moins une équation de cette autre forme :