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Or : 1^o soit $\mathrm {R}$ un nombre premier quelconque ; il faudra, en vertu de l’équation (B), que $xy'+yx'$ ou $xy'-yx'$ soit divisible par $\mathrm {R} \,;$ soit donc

$xy'\pm yx'=q\mathrm {R} ,$

et l’équation (A) deviendra

$\mathrm {R} ^{2}=(xx'\pm ayy')^{2}-aq^{2}\mathrm {B} ^{2},$

d’où l’on voit que $(xx'\pm ayy')^{2}$ est divisible par $\mathrm {R} ^{2},$ et que par conséquent $xx'\pm ayy'$ est divisible par $\mathrm {R} \,;$ donc faisant $xx'\pm ayy'=p\mathrm {R} ,$ et divisant ensuite toute l’équation par $\mathrm {R} ^{2},$ on aura

$1=p^{2}-aq^{2}.$

7. 2^o Soit $\mathrm {R=AB} ,$ $A$ et $B$ étant des nombres premiers, il faudra, en vertu de l’équation (B), que $xy'+yx'$ ou $xy'-yx'$ soit divisible par $\mathrm {R}$ ou bien que l’une de ces deux quantités soit divisible par $\mathrm {A}$ et l’autre par $\mathrm {B} .$

Le premier cas rentre évidemment dans celui du numéro précédent, et donne par conséquent le même résultat.

Dans le second cas on aura

$xy'\pm yx'=q\mathrm {B} ,$

$q$ n’étant point divisible par $\mathrm {A} ,$ et l’équation (A) deviendra

$\mathrm {A^{2}B^{2}} =(xx'\pm ayy')^{2}-aq^{2}\mathrm {B} ^{2}\,;$

de sorte que $xx'\pm ayy'$ sera aussi divisible par $\mathrm {B} \,;$ donc faisant

$xx'\pm ayy'=p\mathrm {B} ,$

et divisant toute l’équation par $\mathrm {B} ^{2},$ on aura

(C)

$\mathrm {A} ^{2}=p^{2}-aq^{2}.$

Or, comme $q$ n’est pas divisible par $\mathrm {A} ,$ et que $a$ ne l’est pas non plus