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De plus, si l’on veut avoir l’expression du rayon vecteur $u$ de l’orbite réelle, on fera

$u-a(1+i\nu ),$

et comme $u=r{\sqrt {1+q^{2}}},$ on trouvera

$\nu =y+{\frac {i}{2}}z^{2}+{\frac {i^{2}}{2}}yz^{2},$

et mettant au lieu de $y$ et $z$ leurs valeurs en $\mathrm {y}$ et $\mathrm {z} ,$

$\nu =\mathrm {y} -i\mathrm {y} ^{2}+{\frac {3}{2}}i^{2}\mathrm {y} ^{3}.$

Ainsi le problème ne dépendra plus que de l’intégration des équations

$(t)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}\mathrm {y} +\mathrm {n} {\mathfrak {Y}}=0,$

$(u)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}+\mathrm {L} ^{2}\mathrm {z} +i\mathrm {n} {\mathfrak {Z}}=0.$

81. Si l’on fait $n=0,$ on aura le cas ordinaire où l’orbite est une ellipse immobile.

On trouvera donc pour ce cas

$\mathrm {y} =\Delta \cos(\mathrm {K} t-{\mathfrak {A}})\quad {\text{et}}\quad \mathrm {z} =\Lambda \sin(\mathrm {L} t-{\mathfrak {E}}),$

$\Delta ,\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathfrak {E}}$ étant des constantes.

Donc : 1^o $\mathrm {A} =-h^{2}\Delta ^{2}$ et $\mathrm {B} =-h^{2}\Delta ^{2}$ (n^o 79) ; 2^o si l’on substitue ces valeurs de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z}$ dans le second membre de l’équation $(s),$ et qu’après avoir développé les puissances des sinus et des cosinus on égale à zéro tous les termes constants, on aura, aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près,

$\mathrm {f} +ih\left({\frac {5}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {1}{2}}\Lambda ^{2}\right)=0\,;$

d’où

$f=-ih\left({\frac {5}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {1}{2}}\Lambda ^{2}\right).$

De sorte qu’on trouvera (à cause de $\alpha =0$ et de $\mathrm {n} =0$) $k=0$ et $l=0,$ et par conséquent $\mathrm {K} =h$ et $\mathrm {L} =h$ (n^o 79).