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${\begin{aligned}{\mathfrak {D}}&={\frac {2\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {C}}-(1+s)\alpha {\mathfrak {B}}}{(3-s)\alpha }},\\{\mathfrak {E}}&={\frac {3\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {D}}-(2+s)\alpha {\mathfrak {C}}}{(4-s)\alpha }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Connaissant ainsi tous les coefficients de la série qui représente $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s},$ on trouvera tout de suite ceux de la série qui exprime $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s-1}\,;$ car, dénotant ces derniers par ${\mathfrak {P,Q,R}},\ldots ,$ il faudra que la série ${\mathfrak {P+Q}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}\cos 2\theta +\ldots ,$ étant multipliée par $1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2},$ devienne égale à la série ${\mathfrak {A+B}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}\cos 2\theta +\ldots ,$ La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes,

${\mathfrak {A}}=\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {P}}-\alpha {\mathfrak {Q}}\quad {\text{et}}\quad {\mathfrak {B}}=\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {Q}}-2\alpha {\mathfrak {P}}-\alpha {\mathfrak {R}}.$

Or ${\mathfrak {R}}$ est donné en ${\mathfrak {P}}$ et ${\mathfrak {Q}}$ de la même manière que ${\mathfrak {C}}$ est donné en ${\mathfrak {A}}$ et ${\mathfrak {B}},$ de sorte qu’on aura, en mettant $s+1$ à la place de $s,$

${\mathfrak {R}}={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {Q}}-2(s+1)\alpha {\mathfrak {P}}}{(1-s)\alpha }}.$

Donc, substituant cette valeur de ${\mathfrak {R}}$ on aura deux équations en ${\mathfrak {A,B,P}}$ et ${\mathfrak {Q}},$ d’où l’on tirera

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}&={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {A}}+{\cfrac {s-1}{s}}\alpha {\mathfrak {B}}}{(1-\alpha ^{2})^{2}}},\\{\mathfrak {Q}}&={\frac {{\cfrac {s-1}{s}}\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {B}}+4\alpha {\mathfrak {A}}}{(1-\alpha ^{2})^{2}}}.\end{aligned}}$

Ensuite on aura

${\begin{aligned}{\mathfrak {S}}&={\frac {2\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {R}}-(2+s)\alpha {\mathfrak {Q}}}{(2-s)\alpha }},\\{\mathfrak {T}}&={\frac {3\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {S}}-(3+s)\alpha {\mathfrak {R}}}{(3-s)\alpha }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Tout se réduit donc à trouver les valeurs de ${\mathfrak {A}}$ et de ${\mathfrak {B}}$ lorsque $s={\frac {3}{2}}\,;$