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Supposons donc

$(k)\quad {\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{a^{2}}}=h+iX,\quad {\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} }{a}}=h^{2}+i\mathrm {Y} ,\quad {\frac {\mathrm {P-Q} q}{r}}=i\mathrm {Z} ,$

et les équations précédentes étant divisées par $i$ deviendront, en faisant $b={\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}},$

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(3h^{2}-2b\right)y+\mathrm {Y} -2h\mathrm {X} -i\left(6h^{2}-3b\right)y^{2}-{\frac {3}{2}}ibz^{2}+6ihy\mathrm {X} -i\mathrm {X} ^{2}$

$+i^{2}\left(10h^{2}-4b\right)y^{3}+3i^{2}byz^{2}-12i^{2}hy^{2}\mathrm {X} +3i^{2}y\mathrm {X} ^{2}=0,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+h^{2}z+Z-4ih^{2}zy+2i{\frac {dzdy}{dt^{2}}}+2ihzX\\&+10i^{2}h^{2}zy^{2}-2i^{2}{\frac {dzdy}{dt^{2}}}y-8i^{2}hzy\mathrm {X} +i^{2}z\mathrm {X} ^{2}=0.\\{\frac {dx}{dt}}&+2hy-\mathrm {X} -3ihy^{2}+2iy\mathrm {X} +4i^{2}hy^{3}-3i^{2}y^{2}\mathrm {X} =0.\end{aligned}}$

Si l’on nomme de même $a'$ la distance moyenne de Saturne au Soleil, $h'$ sa vitesse angulaire moyenne, et qu’on suppose

$r'=a'(1+iy'),\quad \varphi '=h't+ix',\quad q'=iz',$

on aura les mêmes équations que ci-devant, en marquant seulement les lettres d’un trait.

73. Il faut maintenant faire les mêmes substitutions dans les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} ,$ et premièrement dans celle de ${\frac {1}{v^{3}}}$ qui entre dans la valeur de ces quantités ; mais, pour rendre le calcul plus simple, nous n’aurons égard dans cette opération qu’aux termes de l’ordre de $i,$ une plus grande précision étant d’ailleurs inutile dans la présente recherche.

Mettons d’abord $a(1+iy)$ à la place de $r,$ et $a'(i+iy')$ à la place de $r',$ et nous aurons, en négligeant les termes $q^{2},qq'$ et $q'^{2},$ qui seraient du second ordre, et faisant, pour plus de simplicité, $\varphi -\varphi '=\theta ,$

$v={\sqrt {a^{2}(1+2iy)-2aa'(1+iy+iy')\cos \theta +a'^{2}(1+2iy')}},$