on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{\star }={\frac {m_{1}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\left[\eta _{1}\cos[(h+im_{1})t]+\zeta _{1}\sin \left[(h+im_{1})t\right]\right.\qquad &\\+{\mathfrak {A}}_{1}{\frac {d\mathrm {U} '}{dt}}+\beta _{1}{\frac {d\mathrm {V} '}{dt}}+\gamma _{1}\mathrm {y+\delta _{1}u'+\varepsilon _{1}v} \quad &\\\left.+\beta _{1}\varphi _{1}+{\frac {\alpha _{1}+{\mathfrak {A}}_{1}}{2}}\chi _{1}+{\frac {\alpha _{1}-{\mathfrak {A}}_{1}}{2}}\psi _{1}\right]&\\-{\frac {m_{2}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\left[\eta _{2}\cos[(h+im_{2})t]+\zeta _{2}\sin \left[(h+im_{2})t\right]\right.\qquad &\\+{\mathfrak {A}}_{2}{\frac {d\mathrm {U} '}{dt}}+\beta _{2}{\frac {d\mathrm {V} '}{dt}}+\gamma _{2}\mathrm {y+\delta _{2}u'+\varepsilon _{2}v} \quad &\\\left.+\beta _{2}\varphi _{2}+{\frac {\alpha _{2}+{\mathfrak {A}}_{2}}{2}}\chi _{2}+{\frac {\alpha _{2}-{\mathfrak {A}}_{2}}{2}}\psi _{2}\right]&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e8eb64c06e722b4c1018326fe0751a6f5006aa)
étant les valeurs de 
qui répondent à 
et 
Si l’on voulait encore pousser la précision plus loin, il faudrait alors reprendre les calculs du no 58, et y avoir égard aux quantités de l’ordre de 
que nous y avons négligées.
65. Soit 
étant une quantité constante, et 
une fonction de telle, que
on aura donc
![{\displaystyle \int \mathrm {T} \cos \left[(h+im)t\right]dt=\mathrm {A} \int \mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b828b5b535e4d274d2eea79d255920e14e4835a5)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt=&-{\frac {1}{a^{2}}}\int {\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}\cos \left[(h+im)t\right]dt\\=&-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\cos \left[(h+im)t\right]-{\frac {h+im}{a^{2}}}\mathrm {P} \sin \left[(h+im)t\right]\\&+{\frac {(h+im)^{2}}{a^{2}}}\int \mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819749655511857b30b732f1a54c7983da5ea541)
en intégrant par parties ; donc, supposant que l’intégrale
![{\displaystyle \int \mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b862ce437209b514e35cf4a85559bfe16cd34765)
