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intégrale (X) du n^o 58, et l’on aura, en rejetant les termes de l’ordre de $i^{2},$

$(e)\left\{{\begin{aligned}&\left\langle {\frac {dy}{dt}}+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left({\frac {du'}{dt}}+{\frac {dU'}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad +hy{\sqrt {-1}}+(h-2\mathrm {H} ){\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left(u'{\sqrt {-1}}-U'\right),\\&\qquad +i\left\{\alpha {\frac {du'}{dt}}+{\mathfrak {A}}{\frac {dU'}{dt}}{\sqrt {-1}}+\beta \left({\frac {dv}{dt}}+{\frac {dV}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad \qquad +\left[m-{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}\right]y{\sqrt {-1}}\\&\qquad \qquad +\left[{\frac {\mathrm {(M+N} h')m}{4h'(m-k')}}+h\alpha -2\mathrm {H} {\mathfrak {A}}\right]u'{\sqrt {-1}}\\&\qquad \qquad +\left[\mathrm {N+2H} \alpha -{\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h'(m-k')}}-h{\mathfrak {A}}\right]U'\\&\qquad \qquad +\left.\left.\left[{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}+(h-4H)\beta \right]\left(v{\sqrt {-1}}-V\right)\right\}\right\rangle e^{(h+im)t{\sqrt {-1}}}\\&=\int \left\{\mathrm {T} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\mathrm {T} '\left(\cos \mathrm {H} t+\sin \mathrm {H} t{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad \qquad +i\left[\beta \mathrm {T} \left(\cos 2\mathrm {H} t+\sin 2\mathrm {H} t{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\mathrm {T} '\left(\alpha \cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t{\sqrt {-1}}\right]\right\}e^{-(h+im)t{\sqrt {-1}}}dt.\end{aligned}}\right.$

Supposons que cette intégrale soit prise de telle manière qu’elle soit nulle lorsque $t=0,$ et qu’alors on ait

$y=f,\quad {\frac {dy}{dt}}=g,\quad y'=f',\quad {\frac {dy'}{dt}}=g',$

et par conséquent

$u'=f',\ \ {\frac {du'}{dt}}=g',\ \ U'=0,\ \ {\frac {dU'}{dt}}=\mathrm {H} f',\ \ v=f,\ \ {\frac {dv}{dt}}=g,\ \ V=0,$

et (n^o 58)

${\frac {dV}{dt}}=2\mathrm {H} f,$

il est clair qu’il faudra ajouter au second membre de l’équation précé-