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ou multipliant par ${\frac {m-k'}{2h}}$ et réduisant,

$(m-k)(m-k')-{\frac {(\mathrm {M+N} h')(\mathrm {M'+N'} h)}{16hh'}}$

$+i\left[(m^{2}-k^{2})(m-k')-{\frac {(\mathrm {M+N} h)\mathrm {N} 'm}{16hh'}}-{\frac {(\alpha \mathrm {M} '+{\mathfrak {A}}\mathrm {N} 'h)(m-k')}{4h}}\right]=0.$

De sorte que si l’on fait

$\Delta =(m^{2}-k^{2})(m-k')-{\frac {(\mathrm {M+N} h)\mathrm {N} 'm}{16hh'}}-{\frac {(\alpha \mathrm {M} '+{\mathfrak {A}}\mathrm {N} 'h)(m-k')}{4h}},$

on aura

$(d)\qquad \qquad (m-k)(m-k')-{\frac {(\mathrm {M+N} h')(\mathrm {M'+N'} h)}{16hh'}}+i\Delta =0,$

équation d’où l’on tirera deux valeurs de $m$ que j’appellerai $m_{1}$ et $m_{2}.$

Si l’on néglige le terme $i\Delta ,$ on aura les premières valeurs approchées de $m_{1}$ et de $m_{2}\,;$ et substituant ensuite ces valeurs dans l’expression de $\Delta ,$ on aura les valeurs de $m_{1}$ et de $m_{2}$ aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près.

Enfin l’équation $(c)$ donnera, en substituant les valeurs de $\mu '$ et de ${\mathfrak {M}}',$ et négligeant les termes de l’ordre de $i^{2},$

$\nu \pm {\mathfrak {N}}{\sqrt {-1}}=-i{\frac {\mathrm {M+N} (2h-2h'\pm h)}{h^{2}-(2h-2h'\pm h)^{2}}}{\frac {\mathrm {M+N} h'}{8h'(m-k')}}(1\mp 1)\lambda ,$

d’où, en faisant

$\beta =-{\frac {\mathrm {M+N} (h-2h')}{4h'(h-h')}}{\frac {\mathrm {M+N} h'}{8h'(m-k')}},$

on aura

$\nu =i\beta \lambda ,\qquad {\mathfrak {N}}=i\beta \lambda {\sqrt {-1}}.$

À l’égard des autres coefficients, savoir : $\lambda ',\mu ,{\mathfrak {M}},\nu '$ et ${\mathfrak {N}}',$ ils seront tous égaux à zéro, comme nous l’avons vu dans le numéro précédent.

61. On fera maintenant ces différentes substitutions dans l’équation