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et

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&\sin \mathrm {H} t+\mathrm {K} ^{2}y\sin \mathrm {H} t+i\left[{\frac {1}{2}}\mathrm {M} y\sin 2\mathrm {H} t+\mathrm {N} {\frac {dy}{dt}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos 2\mathrm {H} t\right)\right]\\&=\mathrm {T} \sin \mathrm {H} t\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en faisant les substitutions ci-dessus,

(2)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+2\mathrm {H} {\frac {U}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-H^{2}\right)} u+i\left[{\frac {\mathrm {M} }{2}}y+\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} v+{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dV}{dt}}\right]\\&=\mathrm {T} \cos \mathrm {H} t,\end{aligned}}$

(3)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}U}{dt^{2}}}&-2\mathrm {H} {\frac {du}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-H^{2}\right)} U+i\left[\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} V-{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dv}{dt}}\right]\\&=\mathrm {T} \sin \mathrm {H} t.\end{aligned}}$

Si l’on voulait n’avoir égard, dans la valeur de $y,$ qu’aux quantités de l’ordre de $i,$ on négligerait dans les valeurs de $u$ et de $U,$ et par conséquent aussi dans les équations (2) et (3), tous les termes affectés de $i,$ moyennant quoi ces équations ne contiendraient plus que les trois variables $y,u$ et $U,$ de sorte qu’avec l’équation $(i)$ elles suffiraient pour résoudre le problème ; mais si l’on veut pousser l’approximation jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2},$ comme nous l’avons fait dans les problèmes précédents, alors on conservera tous les termes des équations (2) et (3), et on multipliera de nouveau l’équation (S) par $\cos 2\mathrm {H} t$ et par $\sin 2\mathrm {H} t\,;$ ce qui donnera, après les substitutions, deux équations en $v$ et en $V,$ dans lesquelles on pourra négliger les termes affectés de $i,$ parce que les quantités $v$ et $V$ sont déjà elles-mêmes multipliées par $i$ dans les équations (2) et (3) ; ainsi l’on aura

(4)

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+4\mathrm {H} {\frac {dV}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-4H^{2}\right)} v=\mathrm {T} \cos 2\mathrm {H} t,$

(5)

${\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}-4\mathrm {H} {\frac {dv}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-4H^{2}\right)} V=\mathrm {T} \sin 2\mathrm {H} t,$

et l’intégration de l’équation proposée sera réduite à celle de cinq équations (1), (2), (3), (4) et (5), lesquelles sont, comme on voit, dans le cas du n^o 29.

Ayant donc multiplié la première de ces équations par le $\lambda e^{\rho t}dt,$ la seconde par $\mu e^{\rho t}dt,$ la troisième par ${\mathfrak {M}}e^{\rho t}dt,$ la quatrième par $\nu e^{\rho t}dt,$ et