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55. Si elles contenaient des termes de la forme

$i{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad i{\frac {dydz}{dt^{2}}},\quad i{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}},\quad i^{2}y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}},\quad i^{2}y{\frac {dydz}{dt^{2}}},\ldots ,$

on les ferait disparaître par des procédés semblables à ceux que nous avons suivis dans le n^o 49. Il en serait de même de tous les termes qui contiendraient des produits de ${\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {dz}{dt}}$ de dimensions paires ; mais s’il se trouvait des produits de dimensions impaires de ces mêmes quantités, alors on ferait chacune d’elles égale à une nouvelle variable, et on achèverait le reste comme dans le n^o 50.

56. Enfin, si l’on avait des équations du troisième ordre et au delà, on les réduirait toujours au second par la méthode du n^o 51.

De l’intégration de l’équation

(S)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+i\left(\mathrm {M} y\cos \mathrm {H} t+\mathrm {N} {\frac {dy}{dt}}\sin \mathrm {H} t\right)=\mathrm {T} .$

dans laquelle $\mathrm {T}$ est une fonction quelconque de $t.$

57. Je remarque d’abord que si $\mathrm {T}$ était égal à zéro, l’équation serait dans le cas du n^o 55, car il n’y aurait qu’à faire $\cos \mathrm {H} t=z,$ ce qui donnerait

$\sin \mathrm {H} t=-{\frac {1}{\mathrm {H} }}{\frac {dz}{dt}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {H} ^{2}z=0.$

Or, puisque l’indéterminée $y$ n’y passe pas le premier degré, il est clair qu’on pourra faire disparaître le terme tout connu $\mathrm {T}$ par la méthode du n^o 1. En effet, si l’on multiplie l’équation proposée par $zdt,$ et qu’on pratique les autres opérations que prescrit cette méthode, on aura les deux équations suivantes :

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}z+i\left[\left(\mathrm {M} \cos \mathrm {H} t-{\frac {d(\mathrm {N} \sin \mathrm {H} t)}{dt}}\right)z-\mathrm {N} \sin \mathrm {H} t{\frac {dz}{dt}}\right]=0,$

${\frac {dy}{dt}}z-y{\frac {dz}{dt}}=\int \mathrm {T} zdt,$